给不知哪个网友所画图的4—着色

雷明85639720

给不知哪个网友所画图的4—着色
雷  明
（二○二○年十月十八日）

1、图1是一个不知是哪个网友所画的图，他认为这个图不得不用第五种颜色，用以来否定四色猜测。

2、这是一个3—正则的平面图，即是一个地图。所有顶点的度都是3。给地图的面上染色，一定不能忘记无限面也是一个面，也得染色。但作者忘记了，这是画图的一个失误。把这个失误补上来，再给地图画上图匡时，就是图2。这时的无限面是可以染上A色的。
3、这个图作者用了五种颜色，肯定是不对的，只用四种颜色完全是可以的。有两种重新染色的方法：一种是从头开始，把原图中的颜色全部去掉，重新染一次颜色；二是在原有染色的基础上，采用坎泊的颜色交换技术，改动某些区域的颜色，给其中已用了第五种颜色的E区域染上图中已用过的A、B、C、D四种颜色之一。这里我们只用第二种方法进行着色。
4、这是一个出现了颜色冲突的图，即与要染色的区域E相邻的区域已占用完了四种颜色，就得把E的邻区所用的颜色数由四种减少到三种，空出一种颜色来，给待染色的区域E染上。

5、把图中的关键区域进行命名（即编号），主要有六个区域，加上待染色的区域E，共有七个关键区域（如图3）；再画该地图的对偶图（如图4，未画出全部）。
6、在图4的对偶图中，顶点2B与顶点4C是直接相邻的，是连通的；顶点2B到顶点5D的B—D链是不连通的。这一现象表现在地图中则是在图3中的2B面与4C面间有一条红色的连线和从2B面出发的各条红色的线均未通到5D面上，而被一条黄色的A—C通道所隔断。


7、因此，可以从与顶点（或面）E相邻的顶点（或面）D开始交换D—B链，从围栏顶点（或区域）中空出颜色D给待着色顶点（或区域）E着（染）上（如图5和图6）；或者从顶点（或面）2B开始交换B—D链，从围栏顶点（或区域）中空出颜色B给待着色顶点（或区域）E着（染）上（如图7和图8）。
8、虽然从3A顶点（或区域）到5D顶点（或区域）无连通链，但从1A顶点（或区域）到4C顶点（或区域）却有连通链（如图4中的加粗道路和图3中的黄色通道），而不可能连续的移去两个同色B。所以这个图在原着色基础上的着色只有图6和图8两种形式。




9、看来解决四色问题，主要还是要解决有限种的颜色冲突的问题，这也就可以把一个研究对象是无限的问题转化成了一个有限的问题研究了。
10、着色中颜色冲突问题是不可避免的会出现的，电告须解决的关链问题。有限数量的颜色冲突问题解决了，四色猜测的证明问题也就得到了解决。
11、从以上的着色中，我们还可以看出一个问题，虽然我们把给出的地图的对偶图并没有画完全，但关键的顶点和关链的链却一个也不少，最后把对对偶图着色的结果反回到原地图中时，原地图的着色也是正确的。这反映了一个问题，证明是不用具体图的，而是要用非具体图的模型或者叫构形就可以了。有限的颜色冲突模型是能够代替所有的平面图的。所以证明四色猜测时，不需要对一个个的图去进行着色，因为你着色再多，也不可能把无限多的平面图着色完毕的，而只要把有限个的颜色冲突模型进行解决就行了。

雷  明
二○二○年十月十八日于长安

注：此文已于二○二○年十月二十日在《中国博士网》上发表过，网址是：