用非标准分析观点看一个积分次序不可交换的例子

fm1134

很好的例子。
非常感谢陆老师的解答！

fm1134

luyuanhong

fm1134

谢谢陆老师！

fm1134

luyuanhong 发表于 2023-3-16 12:07

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luyuanhong

fm1134

luyuanhong 发表于 2023-3-18 11:16

非常感谢陆老师的耐心解答！
二次积分和二重积分的关系，与二次极限和二重极限的关系似乎很相似，但这两对关系是否完全一致地对应的呢？
二重积分存在，是否两个二次积分必定都存在且相等？
两个二次积分都存在且不相等，则二重积分必定不存在（不可积），这一点，应该没有问题。
两个二次积分都存在且相等，则二重积分是否必定存在且等于二次积分？
关于二重极限和二次极限之间的关系，我从《数学分析》教科书中查到的结论如下：
1、两个二次极限都不存在，而二重极限仍有可能存在；
2、两个二次极限存在且不相等，则二重极限必不存在；
3、两个二次极限存在且相等，但二重极限仍有可能不存在。
关于二重积分和二次积分之间的关系，是否也有与二次极限和二重极限之间的关系完全一致对应的结论呢？

fm1134

从3楼、13楼和16楼陆老师的分析可以看出，二次积分实质上就是一个二次极限，二重积分实质上就是一个二重极限，因此，二次积分和二重积分之间的关系，实质上就是二次极限和二重极限之间的关系，两对关系应该完全一致地对应。
也就是说，二次积分和二重积分之间，也应有以下关系：
1、两个二次积分都不存在，而二重积分仍有可能存在；
2、两个二次积分存在且不相等，则二重积分必不存在；
3、两个二次积分存在且相等，但二重积分仍有可能不存在。
至于《实变函数》中“富比尼(Fubini)定理”认为，只要二重积分存在，则两个二次积分必定存在且相等且等于二重积分，这与上述第1条有冲突，我想这或许是因为“富比尼(Fubini)定理”讲的是勒贝格积分意义下的关系，而《数学分析》中所讨论的二次积分和二重积分之间的关系，是在黎曼积分意义下的关系，勒贝格积分意义下的可积，比黎曼积分意义下的可积范围要宽泛，二者不等价。
不知以上理解是否正确？