求 (sinθ)^4+(cotθ)^4+(secθ)^4 的最小值

波斯猫猫

(sinα)^4+(cotα)^4+(secα)^4≥5与(cosθ)^4+(tanθ)^4+(cscθ)^4≥5等价吗？

波斯猫猫

王守恩 发表于 2020-11-6 09:35
挺好玩的。(手工如何证明？)

\(若\sqrt{a}-\sqrt{b}=1，恒有a+\frac{b}{a}+\frac{1}{b}≥5\)

若√a+√b=1,则令√a=（sinθ）＾2，√b=（cosθ）＾2，即可转化为本主题问题；
类似地，若√a-√b=1，则√a=√b+1，即√（1/a)+√(b/a)=1，再做相应的三角代换，也能转化为本主题问题。

波斯猫猫

天山草@ 发表于 2020-11-6 09:09
下面这样算不算手工证明？

亦可直接做三角代换。

王守恩

波斯猫猫 发表于 2020-11-6 11:06
(sinα)^4+(cotα)^4+(secα)^4≥5与(cosθ)^4+(tanθ)^4+(cscθ)^4≥5等价吗？

谢谢 波斯猫猫！出题目的把简单的搞复杂，
做题目的把复杂的搞简单(我是属于做题目一类的)。

N[Minimize[{Sin[a]^4 + Cos[a]^4/Sin[a]^4 + 1/Cos[a]^4, \[Pi] >a}, {a}], 50]
{5.0000000000000000000000000000000000000000000000000,
{a ->0.73032876174288416024107960081703542558013601533079}}

N[Minimize[{1/Sin[a]^4 + Sin[a]^4/Cos[a]^4 + Cos[a]^4, \[Pi] >a}, {a}], 50]
{5.0000000000000000000000000000000000000000000000000,
{a ->0.84046756505201245899024209082271601651844868435676}}

N[Minimize[{a^2 + (1 - a)^2/a^2 + 1/(1 - a)^2}, {a}], 50]
{5.0000000000000000000000000000000000000000000000000,
{a ->-1.2469796037174670610500097680084796212645494617928}}

N[Minimize[{(1 - a)^2 + a^2/(1 - a)^2 + 1/a^2}, {a}], 50]
{5.0000000000000000000000000000000000000000000000000,
{a ->-0.80193773580483825247220463901489010233183832426371}}

波斯猫猫

认为：相关主题的不等式可以作为基本不等式存在（纳入不等式的基本理论）。细心者，可以做一下统计，与相关主题有多少个不等式（代数形式、三角形式、几何形式、复数（或向量）形式等）等价。当然还可以做新的发现。