四色猜测证明的提纲（第三稿）

雷明85639720

四色猜测证明的提纲（第三稿）
雷  明
（二○二○年十一月六日）

1、地理问题转化成数学问题
地图是一个3—正则的平面图，给其面上的染色就相当于对其对偶图——极大平面图——的顶点着色。这就把一个地理问题转化成了数学问题了。
2、不可免构形
一个部分4—着色的极大平面图，并且至少有一个待着色的顶点，在与其相邻的顶点均着上颜色时，就叫构形。由于极大平面图的每一个顶点都是处在一个轮形图的中心顶点的位置，所以构形中待着色顶点的度可以是任意的。但任何平面图中却都至少存在着一个度是小于等于5的顶点，这就是平面图中不可避免的顶点。着色时总可以把构形的待着色顶点放在度小于等于5的顶点上。这就把一个无穷的问题转化成只要解决有5种度的待着色顶点的构形的问题了。
3、颜色冲突问题
把围栏顶点已占用完4种颜色的构形叫颜色冲突构形。而度小于4的待着色顶点是不会出现颜色冲突问题的，所以可能出现颜色冲突问题的就只有度等于4和5的两种待着色顶点的构形了。
4、有、无双环交叉链的问题
所谓双环交叉链，就是构形中有两条对于围栏顶点来说是连通的A—C链和A—D链，两链不但有共同的起始顶点2A，在中途又还有相交叉的顶点8A，两链都与待着色顶点分别构成成了一个环（如图1），所以就叫双环交叉链。
没有双环交叉链的构形，坎泊早在1879年就证明了是可约的。加上4—度顶点的构形又不可能含有双环交叉链，所以可能出现颜色冲突问题的构形就只剩下5—度待着色顶点的一种构形了。

5、可否移去两个同色的构形
有双环交叉链的构形肯定是不能空出A、C、D三色之一的。但有可能直接空出两个同色B时，也是可约的构形，否则就是不可约的。现在就只剩下任何颜色都不可能空出的5—度待着色顶点的有双环交叉链的构形一种情况了。
6、有、无经过了围栏顶点的环形链
从图1中可以看出，两条双环交叉链的起始顶点2A、末尾顶点4D和5C、交叉顶点8A，以及其上的顶点6C和7D等6个顶点，都是非常关键的顶点。只要有任何一个顶点的颜色发生了变化，构形就不可能再是有双环交叉链的构形了。
A—B链与C—D链是一对相反链，是不能相互穿过的。如果有一条是环形的，那么另一条就一定是被环形的那条链分隔在环的内、外两侧，互不连通。这时交换环内、外两侧的任一条相反链，对另一条相反链都是没有影响的。通过这种交换办法，一定会使图1中的双环交叉链断开，构形转化成无双环交叉链的可约构形。
一种是有经过了围栏顶点的环形链的构形，一种是无经过围栏顶点的环形链的构形。有环形链的构形又可分为有A—B环形链的构形（一定是会把顶点4D—5C和顶点6C—7D分隔在环的两侧的）和有C—D环形链、并且把顶点2A和8A分隔在环的两则的构形。这样的构形，都可交换环形链内、外两侧的任一条相反链，使构形转化成无双环交叉链的可约构形。对于无环形链的构形，则可以可以通过连续转型交换的方法，最多可以在有限的4次转型之内（包括4次），使构形转化成一个可以连续的移去两个同色的可约构形，解决了颜色冲突的问题。
所谓转型交换，就是先交换一个同色B，让构形的峰点位置和颜色都发生变化。所谓连续转型就是总是按某一个方向（逆时针方向或顺时针方向）进行的多次转型交换。
7、构造颜色冲突的模型
因为在解决颜色冲突问题时用的既不是具体的、又不是极大平面图的构形，所以就得要对以上《6、有、无经过了围栏顶点的环形链》中所说的两种类型的颜色冲突问题，找到与其相对应的极大平面图。才能证明极大平面图中的确存在着这种颜色冲突问题构形。
用连续转型演绎的方法，把一个可以4—着色的可约构形，连续的构造成有双环交叉链的构形，最后得到一个在继续转型时，构形总是有双环交叉链的、总是在有经过了三个或两个围栏顶点的环形链A—B的构形间、且以4为周期的周期性的进行无穷循环的构形（这些构形一定是可以通过交换环形链内、外的相反链的断链办法解决问题的）；或者得到一个有双环交叉链的，在连续的进行有限次的4次转型之内，就可得到一个可以连续的移去两个同色的可约构形。
这样的两种构形，现在都已经找到了。这就是有经过了围栏顶点的环形链和无经过围栏顶点的环形链的两类颜色冲突的模型。分别就是敢峰先生构造的终极图（如图２），和笔者构造的无经过围栏顶点的环形链的有双环交叉链的颜色冲突问题的模型（如图３）。这两个模型型一定是可4—着色的。

8、构造任意顶点数的极大平面图
在这两个已经4—着色的模型的基础上，通过“加顶和加边”所得到的顶点数多于这两个模型的任何极大平面图，所增加的顶点一定都是可以着上图中已用过的四种颜色之一的；以及在这两个已经4—着色的模型的基础上通过“去顶和加边”所得到的顶点数小于这两个模型的任何极大平面图的色数，只会减少而不会再增加。这样也就证明了任何极大平面图的色数都是不会大于4的。当然，任何地图的色数也都是不会大于4的。这就证明了地图的四色猜测是正确的。
9、构造任意的平面图
在任意的已经4—着色的极大平面图的基础上，通过“去顶”或“减边”所得到的任意（非极大）的平面图的色数，也只会减少而不会再增加。这也就证明任何平面图的四色猜测是正确的。
10、四色猜测是正确的
现在已经分别证明了地图的四色猜测和平面图的四色猜测都是正确的，当然四色猜测也就是正确的了。
这个证明过程是：从地图出发,解决了5—度待着色顶点的不可免构形的颜色冲突问题，也证明了在极大平面图中的确存在着这样的颜色冲突的模型，又得到了可以4—着色的任意的极大平面图，最后又返回到了地图。也得到了可以4—着色的任意的平面图，所以也才有了平面图的四色猜测。

雷  明
二○二○年十一月六日于长安

注：此文已于二○二○十一月六日在《中国博士网》中发表过，网址是：

雷明85639720

,,,,,,,,

雷明85639720

，，，，，，，，