证明（最小数原理）正整数集 N* 的非空子集必有最小数

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（最小数原理）正整数集N*的非空子集必有最小数，即N＊的非空子集S，存在a∈S，对任意c∈S，使得a≤c。
证：设N＊的非空子集C1没有最小数，并且存在，就有1∉C1，否则1是C1的最小数，就有a0≠1，任取一个元素a，因为C1没有最小数，所以一定存在一个b，有b＜a
并目a－b≥1（a，b∈N＊），紧接着我们有an∈C1，a（n－1）∈C1，满足an－a（n－1）≥1（C1没有最小数）同理a（n－1）一a（n－2）≥1其中a（n－2）∈C1。以此得到an个式子并且得到另一个@，用加法合并这an个式子得到an－a0＊≥an记为@，所以@是矛盾，所以得到C1不存在，原命题成立。