已知 secx+tanx=22/7 ，求 cscx+cotx 的值

wintex

請問三角求值

波斯猫猫

已知 secx+tanx=22/7 ，求 cscx+cotx 的值 。
思路：22/7=secx+tanx=1/cosx+sinx/cosx=(1+sinx)/cosx=[cos(x/2)+sin(x/2)]/[cos(x/2)-sin(x/2)]，这样可求出cot(x/2).
然而 cscx+cotx =1/sinx+cosx/sinx=cot(x/2，从而可求其值。

王守恩

\(题目：已知 \sec(x)+\tan (x)=\frac{22}{7} ，求\csc(x)+\cot(x) 的值\)

\(答：已知 \sec(x)+\tan (x)=\frac{22}{7} ，则\csc(x)+\cot(x)=\frac{22+7}{22-7}=\frac{29}{15}\)

\(一般地，已知 \sec(x)+\tan (x)=\frac{a}{b} ，则\csc(x)+\cot(x)=\frac{a+b}{a-b}\)

\(特别说一下：\frac{22}{7}是吓唬您的，您不妨换个分数试试，答案就是这么简单！\)

luyuanhong

王守恩

luyuanhong 发表于 2020-11-15 12:38

3楼补充：别问我是怎么来的，答案在陆老师那里(4楼)。

\(题目：已知 \sec(x)+\tan (x)=\frac{a}{b} ， ，求\csc(x)+\cot(x) 的值\)

\(答：已知 \sec(x)+\tan (x)=\frac{a}{b} ，可以有\csc(x)+\cot(x)=\frac{a+b}{a-b}\)

\(证：\sec(x)+\tan(x)=\frac{1+t^2}{1-t^2}+\frac{2t}{1-t^2}=\frac{(1+t)^2}{1-t^2}=\frac{a}{b}\ \ (1)\)

\(\csc(x)+\cot(x)=\frac{1+t^2}{2t}+\frac{1-t^2}{2t}=\frac{2}{2t}=\frac{1}{t}\ \ \ (2)\)

\(\frac{a+b}{a-b}=\frac{(1+t)^2+(1-t^2)}{(1+t)^2-(1-t^2)}=\frac{2t+2}{2t^2+2t}=\frac{(t+1)}{t(t+1)}=\frac{1}{t}\)

王守恩

已知 secx+tanx=22/7 ，求 cscx+cotx 的值 。

设\(\cos(x)=a，\sin(x)=b，解方程\)
Solve[\(1 = a^2 + b^2, \frac{22}{7} =\frac{1}{a}+\frac{b}{a},\frac{a}{b}+\frac{1}{b} = c\), {a, b, c}]
{{a -> 308/533, b -> 435/533, c -> 29/15}}

有答案了，才敢这样去想。
\(已知\frac{1+b}{a}，求\frac{1+a}{b}的值\)
\(因为：1=\frac{b^2+b+ab}{b^2+b+ab} =\frac{1-a^2+b+ab}{b+b^2+ab}=\frac{(1+a)(1-a+b)}{b(1+b+a)}\)
\(即：\frac{1+a}{b}=\frac{1+b+a}{1+b-a}\)

王守恩

王守恩 发表于 2020-11-15 15:18
已知 secx+tanx=22/7 ，求 cscx+cotx 的值 。

设\(\cos(x)=a，\sin(x)=b，解方程\)

副产品。求证：

\(\frac{\cos(\theta)(1+\sin(\theta)+\cos(\theta))}{(1+\sin(\theta))(1+\cos(\theta)-\sin(\theta))}=1\)

\(\frac{\sin(\theta)(1+\cos(\theta)+\sin(\theta))}{(1+\cos(\theta))(1+\sin(\theta)-\cos(\theta))}=1\)

luyuanhong

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王守恩

波斯猫猫 发表于 2020-11-15 10:58
已知 secx+tanx=22/7 ，求 cscx+cotx 的值 。
思路：22/7=secx+tanx=1/cosx+sinx/cosx=(1+sinx)/cosx=[cos ...

\(题目：已知 \sec(x)+\tan (x)=\frac{22}{7} ， 求\csc(x)+\cot(x)的值\)
变换：\(\sec(x)+\tan (x)=\frac{1}{\cos(x)}+\frac{\sin(x)}{\cos(x)} ，\csc(x)+\cot(x)=\frac{1}{\sin(x)}+\frac{\cos(x)}{\sin(x)}\)
答案：\(\cos(x)=\frac{2*22*7}{22^2+7^2} ,\sin(x)=\frac{22^2-7^2}{22^2+7^2},\frac{1}{\sin(x)}+\frac{\cos(x)}{\sin(x)}=\frac{22+7}{22-7}\)
\(一般地，已知\frac{1}{\cos(x)}+\frac{\sin(x)}{\cos(x)}=\frac{a}{b} ，求\frac{1}{\sin(x)}+\frac{\cos(x)}{\sin(x)}的值\)
答案：\(\cos(x)=\frac{2ab}{a^2+b^2} ,\sin(x)=\frac{a^2-b^2}{a^2+b^2},\frac{1}{\sin(x)}+\frac{\cos(x)}{\sin(x)}=\frac{a+b}{a-b}\)

副产品。
\(a,b 是正整数，其中有一个是偶数，a,b 最大公约数是 1，恒有：\)
\((2ab)^2+(a^2-b^2)^2=(a^2+b^2)^2是勾股数本原解。\)