已知 x／ln(1+x)=a(0)+a(1)x+a(2)x^2+…（｜x｜＜1），试证：a(n)^2＞-a(n)a(n+1)＞0

elim

题: 若\(\,{\small\dfrac{x}{\ln(1+x)}}=a_0+a_1x+a_2x^2+\cdots,\) 试证\(a_n^2>-a_na_{n+1}>0\)

elim

这道题目是说,\(\,\large\frac{x}{\ln(1+x)}\) 的幂级数\(\,a_0+a_1 x+a_2 x^2+\cdots\)
的各项系数绝对值递减, 相邻二系数符号相反. 大家看看怎么证明.

elim

题：设\(\underset{\,}{\;}\;{\large\frac{x}{\ln(1+x)}}=a_0+a_1x+a_2x^2+\cdots,\;\;(|x|<1).\)
\(\qquad\)试证\(\,\;a_n^2>-a_na_{n+1}>0.\)
证：\(\because\;{\small\dfrac{d}{dt}\dfrac{a^t}{\ln a}}=a^t,\;\displaystyle{\small\frac{x}{\ln(1+x)}=\int}_0^1(1+x)^tdt={\small\sum_{n=0}^{\infty}}\big({\small\int}_0^1{\small\prod_{k=0}^{n-1}}(t-k)dt\big)\frac{x^n}{n!}\)
\(\therefore\quad a_n=\displaystyle{\small\int}_0^1{\small\frac{1}{n!}\big(\prod_{k=0}^{n-1}}(t-k)\big)dt.\;\;\)由此即知\(\;-\small\dfrac{a_{n+1}}{a_n}\in(0,1).\quad\small\square\)

ccmmjj

e兄这一步解释一下，我有点迷糊。

elim

\((1+x)^t\)是一个二项式，可以展开成泰勒级数\(\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}\binom{t}{n}x^n\) 这里\(\,t\in(0,1)\,\)
是积分变量．于是\(\displaystyle\int_0^1(1+x)^tdt=\sum_{n=0}^{\infty}\big(\int_0^1\binom{t}{n}dt\big)x^n\). 其中的被积函数就是ccmmjj兄引述的连乘积除以\(n!\)

ccmmjj

elim 发表于 2020-11-17 07:12
\((1+x)^t\)是一个二项式，可以展开成泰勒级数\(\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}\binom{t}{n}x^n\) 这里\ ...

哦，用了二项展开式。知道了。