已知 lim(n→∞)an=A，lim(n→∞)bn=B，证明：lim(n→∞)(a1bn+…+anb1)／n=AB

elim

题：试证若\(\,\displaystyle\lim_{n\to\infty}a_n=A,\;\lim_{n\to\infty}b_n=B\;\;(A,B\in\mathbb{C}),\;\) 则
\(\quad\qquad\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{a_1b_n+a_2b_{n-1}+\cdots+a_nb_1}{n}=AB.\)

fungarwai

2014年kuing那裡有一樣的問題
kuing.orzweb.net/viewthread.php?tid=2718&extra=page%3D1

我建議看pxchg1200的答案

好久沒回來了，現在就用傳說中的CS來弄弄看，我們先證明\(a=b=0\)的情況，這時得到

\(\displaystyle\lim_{n\to+\infty}a^{2}_{n}=\lim_{n\to+\infty}b^{2}_{n}=0\)
O.Stolz後就有

\(\displaystyle\lim_{n\to+\infty}\frac{a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+\cdots+a_{n}^{2}}{n}= \lim_{n\to+\infty}\frac{b_{1}^{2}+b_{2}^{2}+\cdots+b_{n}^{2}}{n}=0\)

現在，運用Cauchy-Schwarz inequality,就有
\(\displaystyle 0\leq \left(\frac{a_{1}b_{n}+a_{2}b_{n-1}+\cdots+a_{n}b_{1}}{n}\right)^{2 }\leq \left(\frac{a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+\cdots+a_{n}^{2}}{n}\right)\left(\frac {b_{1}^{2}+b_{2}^{2}+\cdots+b_{n}^{2}}{n}\right)\)

顯然有
\(\displaystyle\lim_{n\to+\infty}\frac{a_{1}b_{n}+a_{2}b_{n-1}+\cdots+a_{n}b_{1}}{n}=0\)

對於a,b不為0的情況，只要用\(a_n-a,~b_n-b\)替換\(a_n,~b_n\)就好！

wangyangke

simpley

2楼的证明很好。
wangyangke的式子能叫数学证明吗，连基本的数学语言都没有

wangyangke

楼上的批评很好！wangyangke是个业余爱好者，数学语言不足；勉勉强强在论坛。

elim

谢谢各位的回帖, 和评论. 都非常有意义. fungarwai 老师注重变换和已知
结果的应用, wangyangke 老师强调"卷积"平均的"数学期望", simpley
老师感性上要求表达上的规范. 我觉得 wangyangke 老师的思想反映了原问
题最朴素最本质的分析性质:
\(\because\;a_n\to a,\;b_n\to b,\) 序列有界, 存在\(w\)使\(\,|a_n|,\,|b_n|\le w\;(\forall n)\)
\(|a_k b_m -ab|=|(a_n-a)b_m+a(b_m-b)|\le w(|a_k-a|+|b_m-b|)\)
对\(\;\varepsilon>0,\) 存在\(\,N_{\varepsilon}\) 使\(\,|a_kb_m-ab|< {\small\dfrac{\varepsilon}{2}}\;(\forall k,m > N_{\varepsilon})\). 于是有:
\(\bigg|{\Large\frac{a_1b_n+\cdots+a_nb_1}{n}}-ab\bigg|\le\displaystyle{\small\frac{1}{n}}\big(\sum_{k+m=n+1\atop \min(k,\,m)\le N_{\varepsilon}}+\sum_{k+m=n+1\atop k,\,m> N_{\varepsilon}}\big)|a_kb_m-ab|\)
\(\le \frac{2N_{\varepsilon}}{n}4w^2+\small\dfrac{\varepsilon}{2}< \varepsilon\;\big(n>\small\dfrac{16N_{\varepsilon}w^2}{\varepsilon}\big)\)

luyuanhong

楼上 各位网友 的帖子都很好！已收藏。

luyuanhong

下面是我过去在《数学中国》发表过的一个帖子：

luyuanhong