解整数方程 615+x^2=2^y

elim

\(615+x^2=2^y\implies  615+x^2\pmod{10}\in\{4,6\} \)
\(2^y\pmod{10}\in\{4,6\}\implies y=2n\implies 615=(2^n+x)(2^n-x)\)
\(\because\;615=3\times 205=15\times 41=5\times 123,\,\)仅\(\,5+123=2^7\) 是\(2\)的幂,
故\(\,n=6,\,y=12,\;x = \sqrt{2^{12}-615}=59.\)

ataorj

要看懂上面的，还需要看另两位前面的发言才行

elim

ataorj 发表于 2020-12-2 23:37
上面每一步我知道意思，但是不明白道理。。。

首先考察方程两边的个位数, 它们必须相等. 这方面的研究发现个位数只能是 4 或 6. 而 \(2^y\) 的个位数是
4 或 6 时 y 必然是偶数, 所以有整数 n 使 y = 2n. 于是 615 = (2^n+x)(2^n-x). 问题变成分解 615 = u v
使得 u+v = 2(2^n).  发现 u=5, v = 123=3×41 是唯一希望. 逐解得 n=6, y = 12, x = 59.

天山草@

用 mathematica 的解法如下：

波斯猫猫

解不定方程615+x＾2=2＾y。

若方程有解，则x必为奇数，且x＾2的个位为1或5或9。故615+x＾2的个位为4或6或10。从而2＾y的个位为4或6。这时y必为偶数。令y=2n，则有2＾(2n)-x＾2=615，即（2＾n+x）（2＾n-x）=123x5(满足2＾n+x+2＾n-x=2＾（n+1）只有这一组分解)，由2＾n+x=123与2＾n-x=5的方程组解得，x=59，n=6、即y=12。