双环交叉链构形中的关键顶点——四色猜测的简单证明方法

雷明85639720

双环交叉链构形中的关键顶点
——四色猜测的简单证明方法
雷  明
（二○二○年十二月七日）

四色猜测的证明中，目前最大的问题是证明有双环交叉链（如图1中的A—C链和A—D链）的5—轮构形的可约性问题。
图中A—C链和A—D链有共同的起始顶点2A和交叉顶点8A，两链的末端顶点分别是5C和4D。这四个顶点就是这类有双环交叉链的构形中的关键顶点。只要其中有一个顶点的颜色发生了改变，就不存在双环交叉链了，也就成了坎泊证明过的是可约的构形了。

如何使双环交叉链断开呢？如果图中有经过了2A或8A的环形的A—B链，该链就一定把C—D链分隔在了A—B链环的内、外两侧，交换经过4D和5C的C—D链，A—C链和A—D链两条链均没有了各自的末端顶点，当然双环交叉的A—C链和A—D链也就断开了；如果图中有经过了顶点4D和5C的C—D环形链，该链也就把A—B链分隔在了C—D链环的内、外两侧，交换经过了2A或8A的A—B链，A—C链和A—D链两条链就没有了共同的起始顶点或交叉顶点，A—C链和A—D链当然也就断开了。没有了双环交叉链，就是可约构形了。这种交换的方法叫断链交换法。所依据的理论是一对相反色链是不可相互穿过的原理。
如果图中没有以上的环形链怎么办？也有办法。图2是一个标准的没有任何环形链的双环交叉链的5—轮构形，且不能连续的移去两个同色B。但对其进行顺、逆时针的各一次转型交换后，就可得到可约的构形。

顺时针转型得到的是，有经过了双环交叉链D—A和D—B两链末端顶点2A和1B这两个关键顶点的环形链A—B的、CDC型的双环交叉链的构形（如图3），就转化成了可约的构形；

逆时针转型得到的虽然仍是有双环交叉链C—A和C—B的、但又是可以连续的移去两个同色D的DCD型的可约构形（如图4）。对图4再进行逆时针同方向的转型一次就可移去一个D（如图5），成为一个只有一条连通链C—B的可约构形，然后再从围栏顶点的另一个D色顶点开始，进行D—B链的交换，就可移去另一个D（如图6），给待着色顶点V着上。
转型交换依据的是：既然构形不能连续的移去两个同色B，那就只有先移去一个B，这就使得5—轮构形峰点的位置和颜色都会发生变化，就由原来的BAB型构形转化成了别的类型的构形了。

现在，5—轮构形的可约性已得到了解决，四色猜测也就是正确的了。应该说，证明就是这样的简单（这里所用的构形都是遇到了颜色冲突的构形）。

补充一点说明：
以前我也证明过这种无经过关键顶点的环形链的构形最大的转型次数是5的问题，好象与这里的结论产生了矛盾，其实并不矛盾。以前的证明也是用的与这里一样的图，只是为了使得保险系数大一些罢了。在进行了一次转型后，虽然得到了有经过了关键顶点的环形链的构形和可以连续的移去两个色的可约构形，但却是有意的不去用断链法进行解决，也不是急着要连续的移去两个同色；而是想在平面图范围内，继续的构造具有双不交叉链的构形，看一下在平面图范围内再不能构造出双环交叉链时的情况是个什么样的构形。的确，在进行了6次转型后，就不再可能在平面图范围内构造出双环交叉链了。这也就相当于第5次转型后，就是一个可以连续的移去两个同色的可约构形了。这里说的是转型次数的界限最大是5，并不是一定都得要达到5次转型。


雷  明
二○二○年十二月七日于长安

注：此文已于二○二○年十二月八日在《中国博士网》上发表过，网址是：

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