一个有边界点的集合怎么还能说他是开集呢？

wufaxian

请看上图。定义域是(x,y)不等于(0,0)。但是是定义域的边界点确实是(0,0)。这么有问题。但是答案又说定义域是开集。都有边界点了，只能说是半开半闭吧。怎么能说是开集呢？

elim

定义域有边界点不等于含边界点．含边界点的集合不是开集，不含边界点但有边界点的集合还是开集．

wufaxian

elim 发表于 2020-12-17 21:44
定义域有边界点不等于含边界点．含边界点的集合不是开集，不含边界点但有边界点的集合还是开集．

谢谢回复。
那么“有边界但不含边界”和“没有边界”的区别是什么呢？

elim

比如开区间 \((0,1)\) 有边界却不含边界, \((-\infty,\infty)\) 就没有边界. 逻辑上这种区别显然是不可忽略的.

wufaxian

elim 发表于 2020-12-19 07:53
比如开区间 \((0,1)\) 有边界却不含边界, \((-\infty,\infty)\) 就没有边界. 逻辑上这种区别显然是不可忽略 ...

谢谢回复。
不知道这是不是“边界点可能在集合中，也可能不在集合中”的由来？
第一种情况：如果边界点在集合E中，我们说集合E是闭集。
第二种情况：如果边界点不在集合E中 ，此时集合E全部都有內点组成。集合E是开集。

无论第一种情况还是第二种情况，都与集合E“是否有边界点”无关。


如果以上理解正确那么x^2+y^2<1 有边界点（x^2+y^2=1，是它边界点的集合），但边界点不在集合内，因此是开集，是有界集合。
而x^2+y^2<=1，有边界点，且边界点在集合内。因此是闭集，也是有界集合。

x^2+y^2>1是开集，无界集合。x^2+y^2=1是它的边界点。