0＜x,y≤π/2，z1=cosx/siny+icosy/sinx，｜z1｜=2，z2=√x+√y，求 ｜z1-z2｜ 最大值

elim

最大值是 \(\sqrt{1+\big(\sqrt{3}-\sqrt{\pi/2}\big)^2}=\sqrt{4+\pi/2-\sqrt{6\pi}}\)
\(\qquad\quad=1. 1086878728683247679\ldots\)

再大就是什么地方不对了.

王守恩

elim 发表于 2020-12-27 13:31
最大值是 \(\sqrt{1+\big(\sqrt{3}-\sqrt{\pi/2}\big)^2}=\sqrt{4+\pi/2-\sqrt{6\pi}}\)
\(\qquad\quad=1. ...

\(1，最大值=Abs[\frac{\cos(x)}{\sin(y)}+\frac{i\cos(y)}{\sin(x)}-\sqrt{x}-i\sqrt{y}]\)
\(=\sqrt{\big(\frac{\cos(x)}{\sin(y)}-\sqrt{x}\big)^2+\big(\frac{\cos(y)}{\sin(x)}-\sqrt{y}\big)^2}\)
\(=\sqrt{(1-0)^2+(0-\sqrt{\pi/2})^2}=\sqrt{1+\pi/2}\)
\(2，若x+y=\pi/2，恒有：\frac{\cos(x)}{\sin(y)}+\frac{\cos(y)}{\sin(x)}=\big(\frac{\cos(x)}{\sin(y)}\big)^2+\big(\frac{\cos(y)}{\sin(x)}\big)^2=2\)

波斯猫猫

1,题：0＜x,y≤π/2，z1=cosx/siny+icosy/sinx，｜z1｜=2，z2=√x+i√y，求 ｜z1-z2｜ 最大值
請問複數
2,註 聽說z1模長是根號2，答案較好看。
结合以上两点，估计原题把“＋”打成了“-”，估计原题本意是：
已知0＜x,y≤π/2，z1=cosx/siny+icosy/sinx，｜z1｜=√2，z2=√x+i√y，求 ｜z1+z2｜ 最大值。
如果这样就好办多了。如果没有算错的话答案是√（π/2）+√2.（当且仅当x=y=π/4时）

王守恩

波斯猫猫 发表于 2020-12-27 18:10
1,题：0＜x,y≤π/2，z1=cosx/siny+icosy/sinx，｜z1｜=2，z2=√x+i√y，求 ｜z1-z2｜ 最大值
請問複數
2 ...

解题是一个互动的过程，我们在意的是过程中的副产品。
如果能知道 x=y，题目变成(当然，\(\cot改成\tan都是可以的\))：
\(已知\sqrt{2(\cot(x))^2}=n\ \ \ n=2, 3, 4, 5, ...\)
\(求：\sqrt{2(\cot(x)-\sqrt{x})^2}的最大值。\)

elim

若取\(\,z_1={\large\frac{\cos x}{\sin y}}+i{\large\frac{\cos y}{\sin x}},\;|z_1|=\sqrt{2},\) 则答案如下:
\(\sin^2 y=v=1-u=\cos^2 x,\;z_1=1+i,\;x=y={\large\frac{\pi}{4}}\)
\(|z_1-z_2|=(1-\frac{1}{2}\sqrt{\pi})|1+i|=\sqrt{2}-\frac{1}{2}\sqrt{2\pi}.\quad\small\square\)

王守恩

elim 发表于 2020-12-27 13:31
最大值是 \(\sqrt{1+\big(\sqrt{3}-\sqrt{\pi/2}\big)^2}=\sqrt{4+\pi/2-\sqrt{6\pi}}\)
\(\qquad\quad=1. ...

20楼是错的。

\(1，0<x≤\frac{\pi}{2}，0<y≤\frac{\pi}{2}，设z_{1}=\frac{\cos(x)}{\sin(y)}+i\frac{\cos(y)}{\sin(x)}，且|z_{1}|=\sqrt{n}\ \ \ n=1, 2, 3, 4, 5, ...\)
\(若z_{2}=\sqrt{x}+i\sqrt{y}，则|z_{1}-z_{2}|的最大值(两端)=\sqrt{1+(\sqrt{n-1}-\sqrt{\frac{\pi}{2}})^2}\)

\(2，0<x<\frac{\pi}{2}，0<y<\frac{\pi}{2}，设z_{1}=\frac{\cos(x)}{\sin(y)}+i\frac{\cos(y)}{\sin(x)}，且|z_{1}|=\sqrt{n}\ \ \ n=1, 2, 3, 4, 5, ...\)
\(若z_{2}=\sqrt{x}+i\sqrt{y}，则|z_{1}-z_{2}|的最大值(中间)=n-\sqrt{2 arccot\big(\frac{n}{\sqrt{2}}\big)}，x=y=arccot\sqrt{\frac{n}{\sqrt{2}}}\)

王守恩

elim 发表于 2020-12-23 03:19
这个题目的以下解相当繁. 抛砖引玉, 希望高人出手.

谢谢 elim！二楼最大值理论表达式，火候不够，诚心请教。
能给下面的配个最大值理论表达式？谢谢！

\(若\ 0<x≤\frac{\pi}{2}，0<y≤\frac{\pi}{2}\)，
\(设z_{1}=\frac{\sin(x)}{\cos(y)}+i\frac{\sin(y)}{\cos(x)}\ \ z_{2}=\sqrt{x}+i\sqrt{y}\)
\(且|z_{1}|=\sqrt{n}\ \ \ n=1, 2, 3, 4, 5, ...\)
\(求|z_{1}-z_{2}|的最大值(两端)。\)

elim

王守恩

elim 发表于 2020-12-27 13:31
最大值是 \(\sqrt{1+\big(\sqrt{3}-\sqrt{\pi/2}\big)^2}=\sqrt{4+\pi/2-\sqrt{6\pi}}\)
\(\qquad\quad=1. ...

谢谢 elim！看懂了一些，差距太大，还是诚心请教。
下面的最大值理论表达式怎么也出不来。谢谢！

\(若\ 0<x≤\frac{\pi}{2}，0<y≤\frac{\pi}{2}\)，
\(设z_{1}=\frac{\sin(x)}{\cos(y)}+i\frac{\sin(y)}{\cos(x)}\ \ z_{2}=\sqrt{x}+i\sqrt{y}\)
\(且|z_{1}|=\sqrt{n}\ \ \ n=1, 2, 3, 4, 5, ...\)
\(求|z_{1}-z_{2}|的最大值(两端)。\)
\(这个“最大值”看着跟\ \sqrt{n-1}\ 差不多，就是不出来。\)