\(\frac{0}{0}\)形极限的数值计算问题.

elim

这是一门很大的学问, 这里只想举一个例子说明问题和解决的选项.

考虑二元函数\(\,z(x,y)=\small\dfrac{\cos x}{\sin y}+i\dfrac{\cos y}{\sin x}\;(0< x,\,y\le{\scriptsize\dfrac{\pi}{2})}\). 若要求\(|z|\small=2,\)
则\(\,x,\,y\,\)不再独立, 可算出\(\,v=\small\dfrac{1-4u+\sqrt{1-4u+12u^2}}{2}.\;\)其中
\(u=\sin^2 x,\;v=\sin^2 y.\;\)不难算出\(\,u\to 1\,\)时\(\,v\to 0\) 从而
\(\small\text{Re}(z)=\dfrac{\cos x}{\sin y}=\sqrt{\dfrac{1-u}{v}}\) 当\(\,x\to 0\small+\) 时就是一个\(\,\frac{0}{0}\) 形
极限. 如果不在计算机算法上不作处理地计算当\(\,x\to\pi/2-\)时的分子分母
\(\cos x,\;\sin y\) 在取其比, 误差根本没法控制. 但如果我们事先设法消去"零因子":
\(\small v=\dfrac{1-u+\sqrt{1-4u+12u^2}-3u}{2}=(1-u)\dfrac{1+\sqrt{1-4u+12u^2}}{2(3u+\sqrt{1-4u+12u^2})}\)
得到 \(\small\dfrac{\cos^2 x}{\sin^2 y}=\dfrac{2(3u+\sqrt{1-4u+12u^2})}{1+\sqrt{1-4u+12u^2}},\;(u=\sin^2x,\;x\in[0,\pi/2])\)
不再涉及不定式. 计算精度可大大提升. 这在做自动模拟等方面有巨大意义.

elim

我认为 Denglongshan 长期以来的共轭导数问题也应该用这种方式处理.