计算 lim(x→1-0)∏(n=0,∞){[1+x^(n+1)]／(1+x^n)}^(x^n)

elim

题：计算 \(\displaystyle\lim_{x\to 1^-}\prod_{n=0}^{\infty}\left(\frac{1+x^{n+1}}{1+x^n}\right)^{x^n}\)

elim

\(\displaystyle\prod_{n=0}^{\infty}\left(\frac{1+x^{n+1}}{1+x^n}\right)^{x^n}=\lim_{N\to\infty} \frac12\cdot\prod_{j=1}^N(1+x^j)^{(x^{j-1}-x^j)}\cdot (1+x^{N+1})^{x^N}\).
令 \(F(x,N)=\displaystyle\prod_{j=1}^N(1+x^j)^{(x^{j-1}-x^j)}\cdot (1+x^{N+1})^{x^N}\), 则
\(\displaystyle\ln F(x,N)=\sum_{j=1}^N(x^{j-1}-x^j)\ln(1+x^j)+x^N\ln(1+x^{N+1})\)
对\(\,x\in(0,1),\;\ln F(x,N)\overset{N\to\infty}{\to}\displaystyle\int_0^1\ln(1+x)dx+o(1-x)\)
\(=2\ln 2-1+o(1-x)\).
\(\therefore\;\;\displaystyle\lim_{x\to 1^-}{\small\frac{1}{2}}\lim_{N\to\infty}F(x,N)={\small\frac{1}{2}}2^2\lim_{x\to 1^-}e^{-1+o(1-x)}=\small\frac{2}{e}\)

注记：这里用到了连续函数黎曼积分的性质。

doletotodole

暴力啊, 好难学.

elim

doletotodole 发表于 2020-12-28 17:05
暴力啊, 好难学.

有问题吗? 解法是有点难. 很想知道会有哪些问题.

luyuanhong

楼上 elim 的帖子很好！已收藏。

曹尚

真是高手

王守恩

doletotodole 发表于 2020-12-29 08:05
暴力啊, 好难学.

\(试证：\displaystyle\prod_{n=0}^{\infty}\frac{1+(\frac{x}{x+1})^{n+1}}{1+(\frac{x}{x+1})^{n-1}}+\prod_{n=0}^{\infty}\frac{1+(\frac{x}{x+1})^{n+2}}{1+(\frac{x}{x+1})^{n}}=\prod_{n=0}^{\infty}\frac{1+(\frac{x}{x+1})^{n+1}}{1+(\frac{x}{x+1})^{n}}=\frac{1}{2}\ \ \ x=1, 2, 3, 4,...\)

elim

王守恩 发表于 2020-12-30 17:51
\(试证：\displaystyle\prod_{n=0}^{\infty}\frac{1+(\frac{x}{x+1})^{n+1}}{1+(\frac{x}{x+1})^{n-1}} ...

\(\small\dfrac{x}{x+1}\) 可被任何绝对准小于 1 的数取代.

王守恩

王守恩 发表于 2020-12-31 08:51
\(试证：\displaystyle\prod_{n=0}^{\infty}\frac{1+(\frac{x}{x+1})^{n+1}}{1+(\frac{x}{x+1})^{n-1}} ...

\(\displaystyle\prod_{n=0}^{\infty}\frac{1+(\frac{x}{x+1})^{n+1}}{1+(\frac{x}{x+1})^{n-1}}+\prod_{n=0}^{\infty}\frac{1+(\frac{x}{x+1})^{n+2}}{1+(\frac{x}{x+1})^{n}}=\prod_{n=0}^{\infty}\frac{1+(\frac{x}{x+1})^{n+1}}{1+(\frac{x}{x+1})^{n}}=\frac{1}{2}\)
说明：
\(\displaystyle 1, 当 \ x=1, 2, 3, 4...，等式是成立的。\)
\(\displaystyle 2, 当 \ x\to\infty时, 等式就不成立了。\)