求和号与积分号交换除了函数项级数一致收敛时，可以交换。有没有其他情况下也能交换？

永远

陆老师晚上好，求和号与积分号交换除了函数项级数一致收敛时，可以交换。有没有其他情况下也能交换？？？

永远

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数项级数一致收敛的定义、性质和判别法简介

elim

\(f_n(x)=\frac{1}{n^2\sqrt{x}},\;\sum_1^N f_n\) 在\(\,(0,1]\) 上不一致收敛, 但\(\,\sum f_n=\large\frac{\zeta(2)}{\sqrt{x}}\)
易见\(\displaystyle\int_0^1\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n^2\sqrt{x}}dx=2\zeta(2)=\sum_{n=1}^\infty\int_0^1\frac{1}{n^2\sqrt{x}}dx\)

\(\displaystyle\int_0^{\infty}\big(\sum_{n=1}^\infty{\small\frac{e^{-nx}}{n}}\ln x\big)dx=\sum_{n=1}^\infty\int_0^\infty\frac{e^{-nx}}{n}\ln x dx\). 是复杂一点的例子.

上述\(\,f_n\) 在\(\,[1,\infty)\) 上一致收敛于 \(f=0\) 但 \(\displaystyle\lim_{n\to\infty}\int_1^\infty f_n = \infty\ne 0=\int_1^\infty f\).
一致收敛是有限区间上极限, 级数和与积分可交换的充分条件, 不是充要条件. 这点要搞清楚.

本贴的内容, 逻辑都是非常初等的. 楼主完全有能力自己回答主贴的问题.

永远

elim 发表于 2020-12-30 23:10
\(f_n(x)=\frac{1}{n^2\sqrt{x}},\;\sum_1^N f_n\) 在\(\,(0,1]\) 上不一致收敛, 但\(\,\sum f_n=\large\fr ...

我又看了下，确实是有限区间，不是无限区间。陆老师贴子中说在有限区间上一致收敛，可交换。没提无限区间情况

充要条件是啥？？

永远

elim 发表于 2020-12-30 23:10
\(f_n(x)=\frac{1}{n^2\sqrt{x}},\;\sum_1^N f_n\) 在\(\,(0,1]\) 上不一致收敛, 但\(\,\sum f_n=\large\fr ...

函数项级数 lnx∑(n=1,∞)e^(-nx)/n 在 [a,∞)（a>0） 上一致收敛.

当a=0时,\(\displaystyle\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \sum\limits_{n = 1}^\infty  {\frac{{{e^{ - nx}}}}{n}} \ln x=???\)

永远

陆老师还在吗