这个极限怎么求：lim(x→0)∑(n=1,∞)e^(-nx)/n lnx

永远

计算：\(\displaystyle\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \sum\limits_{n = 1}^\infty  {\frac{{{e^{ - nx}}}}{n}} \ln x=???\)

elim

把这堆东西记作\(f(x),\)则\(0< x<1\)时\(f(x)< e^{-1}\ln x< 0\)
今 \(x\to 0^+\) 知所求极限为 \(-\infty\).

永远

陆老师好，可否分析一下

永远

陆老师晚上好

elim

\((1)\quad 0>\ln x\to-\infty\;(1>x\to 0^+)\)
\((2)\quad\int_{\lambda}^1\ln xdx =\lambda-\lambda\ln\lambda\to0\;(\lambda\to 0^+)\)
\(\displaystyle\sum_{n=1}^\infty\frac{e^{-nx}}{n}\ln x< e^{-x}\ln x< e^{-1}\ln x\to-\infty\;(1> x\to 0^+)\)

王守恩

\(\displaystyle\lim_{x\to 0}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{e^{-nx}}{n}\ln(x)=\lim_{x\to\infty}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{e^{\frac{-n}{x}}}{n}\ln(\frac{1}{x})=\ln(1-\frac{1}{\sqrt[x]{e}})\ln(x)\)
\(\displaystyle=\ln(1-\frac{1}{\sqrt[x+1]{e^x}})\ln(x)=(\ln(e-1)-1)\ln(x)\)
\(\displaystyle=-0.458675\ln(x)=-\infty\ \ \ \ \ \ \ 譬如：\)
\(\displaystyle\ln(1-\frac{1}{\sqrt[10]{e^{9}}})\ln(9)=-1\)
\(\displaystyle\ln(1-\frac{1}{\sqrt[100]{e^{99}}})\ln(99)=-2\)
\(\displaystyle\ln(1-\frac{1}{\sqrt[1000]{e^{999}}})\ln(999)=-3\)
\(\displaystyle\ln(1-\frac{1}{\sqrt[10000]{e^{9999}}})\ln(9999)=-4\)
\(\displaystyle\ln(1-\frac{1}{\sqrt[100000]{e^{99999}}})\ln(99999)=-5\)
\(\displaystyle\ln(1-\frac{1}{\sqrt[1000000]{e^{999999}}})\ln(999999)=-6\)

elim

王守恩 发表于 2020-12-31 17:51
\(\D\lim_{x\to 0}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{e^{-nx}}{n}\ln(x)=\ln(1-\frac{1}{\sqrt[x+1]{e^x}})\ln(x)=( ...

你可以用 math ematica 求这个极限.

永远

陆老师早上好