涉及无尽小数与实数概念的主要错误认识

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涉及无尽小数与实数概念的主要错误认识
（1）生产实践的需要与无尽小数的基本概念
由于生产实践需要十进小数，所以需要寻找除不尽的分数与无理数的十进小数表达式。但是1被3除是永远除不尽的操作。这个运算得到的是无穷数列：0.3，0.33，0.333,……。这个数列的通项是有n个3的有尽位十进小数0.33……3，它是分数１／３的满足误差界十的负n次幂分之一不足近似值。因此，这个数列可以被称为“１／３的满足误差界无穷数列（十的负n次幂分之一）的全能不足近似值数列”；这个数列是定义在自然数集合上的变数，它随着n的增大而增大，由于误差界数列的极限为0，这个近似值数列的趋向性极限为１／３，但这个数列永远不等于１／３。这个数列可以简写为0.333……，并称它为无尽循环不小数，但它本身是变数，而不是定数。现行教科书不顾这个事实，认为它是定数，并提出等式：1/3=0.333…… 是张冠李戴的错误；是使用了“无尽是完成了的整体的实无穷观点”错误。
关于这个无尽循环小数，还需要知道：在现实数量大小的研究中，存在着最小单位，不需要无穷次等分下去。例如：将一元人民币等分给三个人，根据人民币的最小单位是分，这个等分工作应当在两个人分得0.33元，一个人的0.34元的近似等分方法进行，而不能将一元人民币无限等分下去。在时空研究中，爱因斯坦根据量子力学的测不准原理，提出过“任何计时器也不可能测出那样短的时间，例如一亿亿亿分之一秒；对长度来说也是如此，一厘米的一亿亿亿分之一也是测不出来的[2]”。这说明：在表示线段长度上，可以有最小的长度度量单位，但最小长度单位可以不同。例如在使用米尺的通常刻度上，可以取千分之一米作为最小长度的度量单位；在纳米技术下，可以取10的负九次方米作为最小长度单位。这时，使用0.3333333333米0.3333333334 米表示三分一米就可以了。如果需要求针对误差界的n为过剩近似值，只需将不足近似值的最后一位加上1 就行了。π与√2 的无理数问题也是如此。
（2）无尽小数与现行实数理论中错误概念
康托尔实数理论中的实数定义中，把“基本数列叫做实数α的一个代表，凡和任一有理数α组成的常数列{α，α，α，……α，……}等价的类称为有理数”(参看华东师大编《数学分析》 上册1988年印刷附录II)是错误的，他这个定义，把上述无穷数列0.3，0.33，0.333,……性质的变数与常数1/3混淆了。余元希、田万海 毛宏德《初等代数研究》上册87页中“称（无尽位）十进小数……为实数”的定义2也是不正确的，它把无尽小数性质的变数作为定数α了。这个文献84页说道“鉴于微积分立论的需要，德国的即为数学家……分别以不同的形式把实数理论建立起来”，其实“如果使用极限值是数列可达到的概念，就存在着“物体按照瞬时速度2g下落的时段长是不是0呢？第二次数学危机问题”；对第二次数学危机需要出“即时速度与瞬时速度两种速度的概念，前者是Δt趋向于0得到的平均速度的极限值，后者是Δt为足够小时的平均速度，两者虽然不同，但可以在足够准近似意义下相互替换”；这就说需要使用“0与非0足够小之间的对立统一法则”解决 。
（3）无限与有限的矛盾及其解决方法
无尽小数的问题涉及到“无限与有限之间的矛盾”，关于这个矛盾，恩格斯在《反杜林论》《反杜林论》48页讲到：“杜林先生，永远做不到没有矛盾地思考现实的无限性。无限性是一个矛盾，而且充满着矛盾。无限纯粹是由有限组成的，这已经是矛盾，可是事情就是这样”；在《自然辩证法》228页恩格斯讲道：“数学家的方法常常奇怪的得到”正确的结果，但他们……。他们忘掉了：全部所谓纯粹数学都是研究抽象的，它的一切数量严格说来都是想象的数量，一切抽象在推到极端时就变成谬妄或自己的反面。数学的无限是从现实中借来的，……，而只能从现实中来说明，……。而这样一来，问题就说明了。为此，笔者称现实数量大小的绝对准表达符号（例如：0，1，2，3，……1/3,1/10,……，π,√2，……等）都是理想实数（简称为实数）。每一个无尽小数都是理想实数的满足误差界（十的负n次幂分之一）的不足近似值。无尽小数本身不是实数，但无尽小数与理想实数之间，具有理论与实践、理想与现实、绝对准与近似之间的对立统一关系。
（4）纯形式逻辑方法是行不通的
由于历史的原因，现行数学教科书中，不仅没有把唯物辩证法作为阐述数学理论的根本方法，而且存在着顽固坚持形式主义的不联系实践的纯形式逻辑的错误。“称无尽小数为实数的定义”就是这个错误一个实例。这个错误带来了徐利治在他的《论数学方法学》[C]，济南 山东科技出版社2003，490-501“自然数列二重性与双相无限性及其对数学发展的影响”中介绍的，布劳威尔反例。这个反例是：首先提出无尽不循环小数展开式中的三个命题：①这个无尽不循环小数展开式中没有百零排（ 百零排指100个连续的0）；②这个无尽不循环小数展开式中有偶数个百零排；③这个无尽不循环小数展开式中有奇数个百零排。 然后，布劳威尔根据“无穷是完成了的整体实无穷观点”使用两次排中律，提出了一个实数Q，这个Q就是无法判断出它大于、小于、等于0三种情形中哪一种成立的实数理论的三分律反例。关于这个反例，徐利治在他的论文中，虽然讲道：“在实无穷概念下，使用两次排中律，可以得到Q属于三者中的哪一种”的说法，但实际上究竟属于哪一种呢？是无法判断出来的，所以徐利治最后讲到“看来还是一个不易解决的难题，希望感兴趣的读者继续研究下去”。仔细分析这个反例与康托尔的实数集合不可列定理与连续统假设的问题，它们都是不顾“无限集合不是完成了的整体”的“实无限”的形式主义的观点造成的。实无限这个术语是掩盖事实的狐皮，取消这个形式主义的观点，这个反例康托尔的实数集合不可列定理与连续统假设的问题就不存在了。这个问题是是希尔伯特知道的，所以他在20世纪20年代提出了他的元数学（即证明论）中的使用元语言与有穷方法的思想，但由于他与到现在为止的数学界都没有你使用唯物辩证法，所以至今数学界没有解决希尔伯特1900年提出的23个问题的第一、第二两个问题。这说明：纯形式逻辑的形式主义方法是行不通的。

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现行教科书中的实数理论含有形式主义的错误。所以elim无法回复我的这个主贴。

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现行教科书中的实数理论含有形式主义的错误。所以elim无法回复我1楼的这个主贴。