函数 f 在整个实数域内有定义且满足 f(f(x))=x，则 f 必定连续。

uk702

已知函数 f 在整个实数域内有定义且满足 f(f(x))=x ，试判断如下两个结论是否成立：
1)  f(x) 在整个实数域内连续；
2）对于任意实数 c，均存在某个解 \(f_c\)  ，使得 \(f_c\)(0)=c；

elim

\(f(x)=\begin{cases}x,& x\in\mathbb{R}-\mathbb{Q};\\ -x,& x\in\mathbb{Q}.\end{cases}\quad\) 显然不连续，但\(\,f(f(x))=x\)

uk702

2) 更简单，令函数 f 使得 f(0)=c，f(c)=0，其它时，f(x ) = x，显然 f 对所有的实数都有定义且满足 f(f(x)) = x。

现在假设 f(x) 在整个实数域处处连续，本小问是否还成立？感觉本题有难度，求牛人现身。

uk702

uk702 发表于 2021-1-16 12:32
2) 更简单，令函数 f 使得 f(0)=c，f(c)=0，其它时，f(x ) = x，显然 f 对所有的实数都有定义且满足 f(f(x) ...

初步结论：f(x) 在整个实数域内有定义且满足 f(f(x))=x，若 f(x) 连续，应该只有两个解，f(x) = x，f(x)=-x，故必有 f(0) = 0，请各位大家指正。

这个结论是错的，见楼下 elim 大师的解答。

elim

uk702 发表于 2021-1-15 21:32
2) 更简单，令函数 f 使得 f(0)=c，f(c)=0，其它时，f(x ) = x，显然 f 对所有的实数都有定义且满足 f(f(x) ...

令\(h(x)=c-x\) 则 \(h(0)=c,\; h(c)=0,\;h(h(x))=x.\)