举例说明有 {fn(x)} 在 E 一致收敛到 f(x)，但 ∫Ef(x)dx≠lim(n→∞)∫Efn(x)dx

elim

题：举例说明有\(\{f_n\}\)在\(E=[a,\infty)\)一致收敛到\(f\)但\(\int_E f\ne\lim\int_E f_n\)．

elim

谁能帮助永远提供这方面的经典案例？

elim

由 \(2=\displaystyle\int_0^{\pi}\sin xdx =\int_0^{n\pi}\frac{\sin(x/n)}{n}dx\)
令\(\;f_n(x)=\begin{cases}\frac{1}{2n}\sin\frac{x}{n} ,&0\le x\le n\pi\\0,& x>n\pi.\end{cases}\quad\) 则函数列在\([0,\infty)\)上
一致收敛到常数\(f=0\). 但\(\displaystyle\;\lim_{n\to\infty}\int_0^{\infty}f_n=1\ne 0=\int_0^{\infty}\lim_{n\to\infty}f_n\)
这些东西太简单．教科书不好意思收入．

elim

好的教科书的习题，往往是为深入理解定理的适用范围，反例，解题技巧等等设计的。

elim

所以应读好的教科书，认真做完书中的习题.