数学中国

 找回密码
 注册
搜索
热搜: 活动 交友 discuz
查看: 3966|回复: 5

试证 ∑(k=1,∞)(-1)^(k-1)/x^k 在 x>1 连续

[复制链接]
发表于 2021-1-19 02:08 | 显示全部楼层 |阅读模式
题:试证\(\sum\limits_{k=1}^{\infty}\frac{(-1)^{k-1}}{{\large x}^k}\)在\(\,\small(x>1)\) 连续.
 楼主| 发表于 2021-1-19 23:52 | 显示全部楼层
这个题目对靠收藏经典学分析的人可能还是有点难.
回复 支持 反对

使用道具 举报

 楼主| 发表于 2021-1-21 02:52 | 显示全部楼层
本帖最后由 elim 于 2021-1-20 21:07 编辑

令 \(g(s)={\large\frac{s}{1+s}}\;\;{\small(|s|<1)},\;h(x)=x^{-1}\;\;\small(x>1)\)
则 \(\sum\limits_{k=1}^{\infty}\frac{(-1)^{k-1}}{{\large x}^k}=g(h(x))\color{grey}{={\large\frac{1}{x+1}}}\) 是二连续函数的复合, 故而连续.
回复 支持 反对

使用道具 举报

 楼主| 发表于 2021-1-21 12:10 | 显示全部楼层
我们也可以证明原函数项级数在\((0,\infty)\) 内闭一致收敛从而在在\(x>1\)连续。
回复 支持 反对

使用道具 举报

 楼主| 发表于 2021-1-22 04:53 | 显示全部楼层
忽略平淡无奇的题目,时间长了会发现除了计算,什么论证都无从下手了。
回复 支持 反对

使用道具 举报

发表于 2021-1-22 07:54 | 显示全部楼层
楼上 elim 的帖子很好!已收藏。
回复 支持 反对

使用道具 举报

您需要登录后才可以回帖 登录 | 注册

本版积分规则

Archiver|手机版|小黑屋|数学中国 ( 京ICP备05040119号 )

GMT+8, 2025-7-18 15:54 , Processed in 0.096247 second(s), 16 queries .

Powered by Discuz! X3.4

Copyright © 2001-2020, Tencent Cloud.

快速回复 返回顶部 返回列表