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楼主: 中国上海市

求解三角方程 sinx+cosx=sin2x

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发表于 2021-1-20 20:39 | 显示全部楼层
解:因为sinx+cosx=sin2x
所以(sin2x)^2-sin2x-1=0,解得sin2x=(1-√5)/2,从而cos2x=±√[2√5-2]/2.
故tan2x=±(1-√5)/√[2√5-2],即2x=kπ±ractan(1-√5)/√[2√5-2],
也就是 x=kπ/2±{ractan(1-√5)/√[2√5-2]}/2.   (  k∈Z).

注:这样处理的好处是函数y=tan2x在每个区间(kπ/2-π/4,kπ/2+π/4)上都是增函数,只需把主值区间上的解加上一般周期即可。

点评

这个解法有毛病,结果中有许多是增根。增根的原因是对方程进行了两边平方的操作。而在求解的过程中又没有设法把增根剔除。  发表于 2021-1-21 21:57
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发表于 2021-1-22 15:59 | 显示全部楼层
波斯猫猫 发表于 2021-1-20 20:39
解:因为sinx+cosx=sin2x
所以(sin2x)^2-sin2x-1=0,解得sin2x=(1-√5)/2,从而cos2x=±√[2√5-2]/2 ...

对于增根,经检验才能去除。正确解是:

\( x =(2k+1) kπ +\frac{1}{2} arctan\frac{1-\sqrt{5}}{\sqrt{2\sqrt{5}-2}} , k\in{Z}  \)
或者
\( x =(2k+1) kπ+\frac{π}{2} -\frac{1}{2} arctan\frac{1-\sqrt{5}}{\sqrt{2\sqrt{5}-2}} , k\in{Z}  \)
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