作椭圆四顶点连成菱形的内切圆的切线，与椭圆交于两点，证明：圆心与两点连线互相垂直

茶庄

前几天做到一道解析几何的题，发现有几何意义，未能想出纯几何证明，望集思广益
题如下：
一个椭圆，连接它的四个顶点，组成了一个菱形，菱形内有一内切圆。求证：与该内切圆相切的任一直线，与椭圆相交两个点，分别连接圆心与两点，则这两条线互相垂直

永远

结论应该成立。解析几何，特别是关圆锥曲线的，无论是证明题还是计算题一写过程就是几大页稿纸，坐看其他老师求解

denglongshan

先构造单位圆，圆上取一点E，构造E关于实轴和虚轴的点，再作切线构造菱形顶点，把椭圆方程改写成复数形式，与切线方程联立可以求出与椭圆的交点，应该有z1/z2=-z1'/z2',或z1/z1=-z2'/z2'，不知道错误原因。
天山草老师请注意一下

ccmmjj

这是我出过的题目，请参考以下贴子中陆教授的解答：
http://www.mathchina.com/bbs/for ... id=56032&extra=
http://www.mathchina.com/bbs/for ... id=57514&extra=

luyuanhong

下面是我过去在《数学中国》发表过的一个帖子：

luyuanhong

黄绪励

前贴不清，重发一次

denglongshan

先构造单位圆，圆心在原点，圆上取一点E，构造E关于实轴和虚轴的点，再作切线构造菱形顶点，把椭圆方程改写成复数形式。

\(假设Z_1和Z_2是过P点与椭圆的交点，欲证明OZ_1垂直OZ_2，只要证明\)
\(\frac{z_1}{\bar{z_1}}=-\frac{z_2}{\bar{z_2}}即可,即\frac{z_1}{\bar{z_1}}+\frac{z_2}{\bar{z_2}}=0，因为Z_1、Z_2在过P点的切线，\)有\(z_1+p^2\bar{z_1}=2p,z_2+p^2\bar{z_2}=2p,所以\frac{z_1}{\bar{z_1}}+\frac{z_2}{\bar{z_2}}+2p^2=2p\frac{\bar{z_1}+\bar{ z_2}}{\bar{z_1} \bar{ z_2}}\)，\(显然\bar{z_1}和\bar{ z_2}是方程的两个根，根据韦达定理和上图的计算结果得\frac{\bar{z_1}+\bar{ z_2}}{\bar{z_1} \bar{ z_2}}=p,结论得证\)
很困惑为什么同样的方程得出不同的结论？解方程不能证明？Mathematica软件会出错吗？

denglongshan

先构造椭圆，再构造菱形内切圆O，由于切线方程略有不同，只须证明
\(\frac{\bar{z_1}+\bar{ z_2}}{\bar{z_1} \bar{ z_2}}=p\frac{a^2+b^2}{a^2b^2}\)即可。
直接求方程后用Simplify和Factor结果不同，很费解，但是结论都得到同样证明。

denglongshan

程序应该不错，但是不直观