f,g 为单调递增凸函数，f(0)=g(0)=0，f'(x)＞g'(x)。是否有 f^(-1)'(x)＜g^(-1)'(x)？

williamatmath

假设函数\(f(x), g(x)\)，均为单调递增的凸函数，且满足\(f(0)=g(0)=0\), \(f'(x)>g'(x)\)。记它们的反函数为\(f^{-1}{'}(x), g^{-1}{'}(x)\)。
可否证明\(f^{-1}{'}(x)<g^{-1}{'}(x)\)?

比如对于\(f(x)=x^3, g(x)=x^2\)容易证明\(f^{-1}{'}(x)<g^{-1}{'}(x)\)。如果不知道\(f, g\)的解析式，上述结论是否成立？

elim

利用 \((f^{-1})'(f(x))f'(x)=1\) 可以证明你的猜想。