计算极限 lim(n→∞)√(4+√(4^2+√(4^3+√(…+√（4^n)…))))

王守恩

fungarwai 发表于 2021-1-31 08:26
咦？唔係喎，有問題
\((\sqrt{x^n}+\sqrt{x/4})^2=x^n+(\sqrt{x^{n+1}}+x/4)\)
你個遞推式前面果個x/4 ...

1,证明不是我的强项，我先试试(略去盈亏部分)。欢迎批评！
2,这一类题，想找一 一对应的精确值不太现实，21楼的数据可参考
3,我在用我的触觉观察数学，方法有瑕疵，28楼(更多)就是这样延伸开来的。

Vincent.QA

所以说，有没有通用公式呢

王守恩

fungarwai 发表于 2021-1-31 10:17
sulley.cc/2020/09/infinite-radicals/

\(x(2^n+x)=x\sqrt{2^{2n}+x(2^{n+1}+x)}\)

\(\sqrt{x+\sqrt{x^2+\sqrt{x^3+\sqrt{x^4+\sqrt{x^5+\sqrt{x^6+\sqrt{x^{7}+\sqrt{x^8+\sqrt{\cdots}}}}}}}}}(1)\)
\(=x\sqrt{\frac{1}{x}+\frac{1}{x}\sqrt{1+\frac{1}{x}\sqrt{x+\frac{1}{x}\sqrt{x^2+\frac{1}{x}\sqrt{x^3+\frac{1}{x}\sqrt{x^4+\frac{1}{x}\sqrt{x^{5}+\frac{1}{x}\sqrt{\cdots}}}}}}}}(2)\)

你能让(1)循环起来吗？循环起来就有根式解(譬如：25#, 26#就有根式解)，我不行(譬如(2)式没有根式解)。

王守恩

11楼是纸老虎。

\(1=\sqrt{2-\sqrt{3-\sqrt{2}\sqrt{5-\sqrt{3}\sqrt{8-\sqrt{5}\sqrt{13-\sqrt{8}\sqrt{21-\sqrt{13}\sqrt{34-\sqrt{21}\sqrt{55-\sqrt{34}\sqrt{89-..}}}}}}}}}\)

\(1=\sqrt{2-1}\)
\(1=\sqrt{2-\sqrt{3-2}}\)
\(1=\sqrt{2-\sqrt{3-\sqrt{2}\sqrt{2}}}\)
\(1=\sqrt{2-\sqrt{3-\sqrt{2}\sqrt{5-3}}}\)
\(1=\sqrt{2-\sqrt{3-\sqrt{2}\sqrt{5-\sqrt{3}\sqrt{3}}}}\)
\(1=\sqrt{2-\sqrt{3-\sqrt{2}\sqrt{5-\sqrt{3}\sqrt{8-5}}}}\)
\(1=\sqrt{2-\sqrt{3-\sqrt{2}\sqrt{5-\sqrt{3}\sqrt{8-\sqrt{5}\sqrt{5}}}}}\)
\(1=\sqrt{2-\sqrt{3-\sqrt{2}\sqrt{5-\sqrt{3}\sqrt{8-\sqrt{5}\sqrt{13-8}}}}}\)
\(1=\sqrt{2-\sqrt{3-\sqrt{2}\sqrt{5-\sqrt{3}\sqrt{8-\sqrt{5}\sqrt{13-\sqrt{8}\sqrt{8}}}}}}\)
\(1=\sqrt{2-\sqrt{3-\sqrt{2}\sqrt{5-\sqrt{3}\sqrt{8-\sqrt{5}\sqrt{13-\sqrt{8}\sqrt{21-13}}}}}}\)
\(1=\sqrt{2-\sqrt{3-\sqrt{2}\sqrt{5-\sqrt{3}\sqrt{8-\sqrt{5}\sqrt{13-\sqrt{8}\sqrt{21-\sqrt{13}\sqrt{13}}}}}}}\)
\(1=\sqrt{2-\sqrt{3-\sqrt{2}\sqrt{5-\sqrt{3}\sqrt{8-\sqrt{5}\sqrt{13-\sqrt{8}\sqrt{21-\sqrt{13}\sqrt{34-21}}}}}}}\)
\(1=\sqrt{2-\sqrt{3-\sqrt{2}\sqrt{5-\sqrt{3}\sqrt{8-\sqrt{5}\sqrt{13-\sqrt{8}\sqrt{21-\sqrt{13}\sqrt{34-\sqrt{21}\sqrt{21}}}}}}}}\)
\(1=\sqrt{2-\sqrt{3-\sqrt{2}\sqrt{5-\sqrt{3}\sqrt{8-\sqrt{5}\sqrt{13-\sqrt{8}\sqrt{21-\sqrt{13}\sqrt{34-\sqrt{21}\sqrt{55-34}}}}}}}}\)
\(1=\sqrt{2-\sqrt{3-\sqrt{2}\sqrt{5-\sqrt{3}\sqrt{8-\sqrt{5}\sqrt{13-\sqrt{8}\sqrt{21-\sqrt{13}\sqrt{34-\sqrt{21}\sqrt{55-\sqrt{34}\sqrt{34}}}}}}}}}\)
\(1=\sqrt{2-\sqrt{3-\sqrt{2}\sqrt{5-\sqrt{3}\sqrt{8-\sqrt{5}\sqrt{13-\sqrt{8}\sqrt{21-\sqrt{13}\sqrt{34-\sqrt{21}\sqrt{55-\sqrt{34}\sqrt{89-...}}}}}}}}}\)

Future_maths

拉玛努金说，是晚上做梦时女神告诉他的。