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本帖最后由 awei 于 2021-3-11 18:57 编辑
怕以后忘了,记在这里了,像傅里叶变换,但又不像,实在郁闷 ,
\[a\in \mathbb{R},\sum _{n=1}^{\infty } \ 2^{(-1)^n\left\lfloor n/2\right\rfloor }×\frac{\text{sgn}[a]-\text{sgn}\left[\sin \left(2^{(-1)^{n+1}\left\lfloor n/2\right\rfloor } \pi a\right)\right]}{2}=a\]
\(\{x,f (x)\}\in \mathbb{R}\),不是就有
\[\sum _{n=1}^{\infty } \ 2^{(-1)^n\left\lfloor n/2\right\rfloor }×\frac{\text{sgn}[f(x)]-\text{sgn}\left[\sin \left(2^{(-1)^{n+1} \left\lfloor n/2\right\rfloor } \pi f(x)\right)\right]}{2}=f(x)\]
能干嘛用呢?
最有意思么过于这个公式了
【最帅气的东东】
\[\sum _{n=1}^{\infty } 2^{-n}× \frac{1-\text{sgn}\left[\sin \left(2^n\right)\right]}{2}=\frac{1}{\pi}\]
【正整数倒数】
\[a\&m>1;\{a,m\}\in \mathbb{N^*}\]
\[\sum _{n={0}}^{\infty } \ a^{-n-1}×\lfloor\frac{\text{mod}(a^{n},m)a}{m}\rfloor=\frac{1}{m}\]
【正实数a取小数部分】
\[0 < a,\sum _{n={1}}^{\infty } \ 2^{-n}×\frac{1-\text{sgn}\left[\sin \left(2^{n } \pi a\right)\right]}{2}=\{a\}\]
【正实数a取整数部分】
\[0 < a,\sum _{n={0}}^{\infty } \ 2^{n}×\frac{1-\text{sgn}\left[\sin \left(2^{-n } \pi a\right)\right]}{2}=\lfloor a\rfloor\]
【扩展到整个实数】
\[a\in \mathbb{R},\sum _{n=-{\infty }}^{\infty } \ 2^{-n}×\frac{\text{sgn}[a]-\text{sgn}\left[\sin \left(2^{n } \pi a\right)\right]}{2}=a\]
\[\sum _{n=1}^{\infty } 2^{-n}× \frac{1-\text{sgn}\left[\cos \left(2^n\right)\right]}{2}=\sum _{n=1}^{\infty } 2^{-n}× \frac{1-\text{sgn}\left[\frac{sin(2^{n})}{sin(2^{n+1})}\right]}{2}\]
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