求 (a+√c)^2+(b+√c)^2=21+20√c 的所有正整数解。

uk702

求 \((a+\sqrt c)^2+(b+\sqrt c)^2=21+20\sqrt c\) 的所有正整数解。

波斯猫猫

求 (a+√c)^2+(b+√c)^2=21+20√c 的所有正整数解。
由(a+√c)^2+(b+√c)^2=21+20√c可推得a^2+b^2+2c=21，且a+b=10。由此，对a与b，显然前者异奇偶，后者同奇偶。矛盾。故无正整数解。

uk702

波斯猫猫 发表于 2021-1-30 10:43
求 (a+√c)^2+(b+√c)^2=21+20√c 的所有正整数解。
由(a+√c)^2+(b+√c)^2=21+20√c可推得a^2+b^2+2c=21 ...

老师忘了 c 有平方因子的情况。

波斯猫猫

思路：（1）若c 为非平方数，则由(a+√c)^2+(b+√c)^2=21+20√c可推得a^2+b^2+2c=21，且a+b=10。由此，对a和b，显然前者异奇偶，后者同奇偶。矛盾。故此时无正整数解。
（2）若c 为平方数，令c=m＾2，将其代入(a+√c)^2+(b+√c)^2=21+20√c中有：(m+a)＾2+（m+b）^2=20m+21。显然a和b异奇偶，当a=2，b=1时，有2m＾2-14m-16=0，解得m=8，故m的最大值为8.下面不妨只考虑具有对称性的一组基础解。
当m=1时，有解a=4，b=3，c=1.
当m=2时，有解a=4，b=3，c=4.
当m=3、4、5、6、7时，经检验均无解.
当m=8时，有解a=2，b=1，c=64.