我与张彧典先生用微信交流四色问题

雷明85639720

我与张彧典先生用微信交流四色问题
雷  明
（二○二一年元月三十一日）

    近来几天，我在网上问了张先生一些有关四色猜测的问题，他用微信给我进行了回答，我也就也用微信与他进行了对话交流。
元月三十日晚，张先生给我发来微信：
“由于电脑近日不好用，所以数坛上不好回复你的疑问，只能在手机上说：
“①你如今对我论文中的定理6理解了，初次肯定它及其推论是正确的。那就说明我实现了清华大学林翠琴教授意愿:只要能证明颠倒染色有限次(对于任一极大平面图)可以成功4染色就是了。没有必要找颠倒次数上限值;
“②你问我什么是十折对称，按中米勒文翻译为十倍对称，我理解是有不同方向的十个对称形式,5顶点与五条边中点的连线做对称轴，有l0条;
“③如何判断是或非十折对称的E构形，统一用H染色程序，如果4次颠倒染色后色图还原，即为E族构形，可改用Z程序求解，如果不出现还原，说明非E族构形，由定理6判断可解，不必再施行H程序，大功告成！”
我当即回复：
“老张朋友，你的回复还是不能令我满意。有限次没有上界还等于是无限。给出一个构形还得先颠倒4次才能判断其是属于那类构形是不科学的，应是从原给图中就可以判断出其应属于那一类。所以你的分类方法还是有问题的，也是不科学的。不到4次转型就已空出了颜色的构形可是大量存在的，你把它们归为那一类呢？转型4次只能说构型的峰点类型还原了，而不能说色图还原了，因为4次转型的确不能使各顶点的颜色反回到原着色。E—图构形20次转型，各顶点才正好是反回到了原来的着色。以后再转型就以每20次转型为大周期的在无限的循环着。而你构造的非E—图构形的需要转型达20次以上的构形，在第20次转型时，的确各顶点又是没有反回原着色的。又谁能保证就没有永不产生以20次转型为一个大周期循环的构型呢？这是一种无限不循环的构型。你的定理6只能判断产生无限的大循环与不大循环的构形，而不能判断无限的但不大循环的构形。
“所以不解决不含有经过了关键顶点的环形链的最大转型次数的问题，四色问题还是不能解决的！
“我上一贴所说的话有点问题，得改一下：就是“所以不解决不含有经过了关键顶点的环形链的构形的最大转型次数问题，四色问题还是不能解决的！
“你说的‘如果4次颠倒染色后色图还原，即为E族构形，可改用Z程序求解，如果不出现还原，说明非E族构形，由定理6判断可解，不必再施行H程序，大功告成！’还是很难判断的，因为4次转型色图是绝对不能还原的。不能用来进行判断。
“你只回答了我提出的一部分问题，且回答得不能令人满意，还有问题你没有回答呢？我将会再写文章问你的！”
张先生随即再次回复：
“雷老弟，你对E族构形的4次颠倒染时色图循环具体操作一下就明白了，20次后色图与几何结构同时完成一个大周期循环，其中色图经历了五次小循环。
“或者，按照你的办法，如果存在0含有V之五边形邻点中B、A丶B三点的A—B环或C、D的C—D环时，用Z程序可约。”
我也当即再回复：
“这样说不就更简单了嘛！有A—B环形链的和有C—D环形链的都用断链法（即Z—换色程序）解决，没有环形链的都用转型法（即H—换色程序）解决。这不比你的分法更容易判别吗？我与你老兄的看法分岐就在这里。你我都明白对方都是可以对任何构形进行4—着色的，只是对H—构形的分类方法不同而已。我们现在可以保持各自的意见了。我的方法是看到图就可以判断其是属于那一类的构形，就能决定用什么方法进行解决；而你方法至少是要经过4次转型后才能判断其是属于那一类的构形，再决定是该用Z—换色程序，还是该用H—换色程序。我的方法是已经确定了转型交换的最大次数的，任何情况下都是心中有数的；而你的方法对H—换色的次数是没有上界的，不能做到心中有数，使用H—换色程序也是盲目的，不知道最多转型几次就可以了。这就是你我对H—构形的分类方法的最大区别。
“E—图构形，每4次转型，是一个构形峰点的小循环，每20次转型是一个构形着色的色图的大循环，各顶点都回到了原来的颜色。每个大循环都包含着5次小循环，永远也循环不完。这就是E—图构形的特点。
“但在这20次转型中，图的几何结构是没有任何变化的，不知你怎么能说出图的几何结构也完成了一个大循环呢？每4次转型，只能说是构形的峰点产生了一个循环周期，图中各顶点的颜色根本就不是原来的颜色，你怎么能说是色图还原呢？只能说是20次转型后，色图才有可能产生一次大循环。
“至于为什么H—换色程序（即转型法）一定要有一个最大转型次数的上界，不光是心中无数的问题，还有会不会象E—图构形那样无限转型，但永不产生大循环的构形呢？有了上界，也就是证明了不存在无限不循环转型的构形了。知道了任何无经过关键顶点的环形链的构形，是不会产生无限不循环的转型，当然心中也就有数、胸有成竹了。
“以上这就是我的看法。”
张先生又回复：
“按几何结构的是否十折对称分两类，用定理形式证明用两种不同的程序分別可约即可，至于怎么判断、操作，已不属于证明范畴了。”
我回答：
“关链问题是你没有判断是否是十折对称的标准，刘千栋的图2是什么构形呢？是否是十折对称的呢？为什么？但我的分法就可以直接进行判断。因为该图中有经过了关链顶点的环形链，我就能决定用断链法给其着色。
“‘十折对称’本身就不科学，待着色顶点画成隐形的E—图的最多也只有五个对称轴，最大只是‘五折’，何来十折呢？况且画出了待着色顶点的E—图也只有一个对称轴呀！E—图既有‘十折对称’的‘特点’，为什么不用是否有‘十折对称’的特点来判断是否是E—图而决定用Z—换色程序，而要先用4次转型才能决定是用Z—换色程序和H—换色程序呢？况且你已决定了用那种换色方法，但是属于那一类型的构形仍没有确定，道底是十折对称的E—图构形呢，还是非十折对称的非E—图构形呢？
“接你说的H—换色4次后色图还原的都用Z—换色程序，都是E—构形，那么请问我们构造的那几个转型次数大于20次的构形也可用Z—换色程序解决，难道他们也都是E—图构形吗？明明白白的这几个图的转型次数是有限的，而不是E—图那样是无限的转型的，这样的不同构型能归为一类去吗？
“显然你的H—构形的分类方法是有问题的！你是先操作(即换色)，才能确定属于哪一类构形，这是不科学的！应当是先判断是那一类构形，再决定如何操作，这样的分类方法才是科学的。类别确定了，操作（换色）方法也就是现成的了。拿来使用就是了。
“我的分类只有两种，一是有环形链的，一是无环形链的。这两个条件在构形中都是清清楚楚存在的，一下子就能看得出来，立马就知道下一步该怎么换色了，这不比你的分类方法科学吗？
“而你的分类方法是先得换色4次，才能确定用那种换色方法，再反回去重来。这不太麻烦了吗？
“老张朋友，你说呢？
“还有关于15个Z—构形的分类也是有向题的，我后面将会再次写出专门的评论文章的。
“使用4次H—换色后色图原还，很不明确，什么是色图？我理解就是构形的原着色。如果是这样，4次H—换色色图绝对是不会还原的。其峰点只是颜色未变，但位置改变了，也并不是原来的顶点。我认为这不叫色图还原。只有E—图在20次H—换色后，才叫色图还原，因为E—图构形所有的顶点都还原成了原来的颜色。而你我构造的H—换色达20次以上的构形，在第20次H—换色时，只是峰点和一部分顶点的颜色和位置都还原了，但仍有其他的顶点的颜色没有还原的情况，所以不能叫色图还原。！的确你的E—图构形的放大图中，也有些是在20次H—换色时是没有还原成原色图的。
“E—图是一个无限循环转型的构形，转型次数是无穷的。而非E—图构形的转型一定是有限的，其中，有环形链的构形，不需转型，交换的次数也一定是有限的；而无环形链的构形，由于是呈现多次连续型的，所以必须有‘上界’来约束，如果没有上界，就可能会有无限不循环的无穷转型的构形。这样，四色猜测将是永远也证明不了是正确的。所以必须证明有没有上界，有上界时四色猜测就是正确的，否则四色猜测就是不正确的。我证明的结果是有上界的，且是在峰点小循环的第二个周期(8次转型)形成之前，所以最大转型次数是7次。
“还有一个问题，就是你说的‘按几何结构的是否十折对称分两类，用定理形式证明用两种不同的程序分別可约即可，至于怎么判断、操作，已不属于证明范畴了。’这话说得也不一定正确。不论用什么方法对构形进行分类，只要都可解解决各类构形的可约性问题，应该说都是正确的。但不应该说‘至于怎么判断、操作，已不属于证明范畴了。’这不就等于说是‘四色猜测就是正确的，你们去进行着色操作吧！’一样吗？着色与证明虽然是不同的两回事，但又是有密切联系的两回事。证明不等于着色。着色再多，即就是所着过色的图都是可4—着色的，但也说明不了四色猜测就是正确的，因为图是有无穷多个的，你永远也不可能都着完。但用不可避免的非具体图的颜色冲突构形证明时，各种不同类型的构形，都是有各自的解决办法的，这些操作办法，就是以后在着色时，遇到同类型的颜色冲突构形时的操作方法。如果说用证明时对构形的分类方法，不能判断出具体构形的类型，那么将如何使用证明时的解决、操作方法呢？这就要求，在制订分类方法时，只有能对具体构形容易判别的分类方法，才是科学的分类方法。”
张先生三十一日下午回复我：
“比如，已经从理论上证明了：“中国人有56个民族”这个命题正确，你还有必要拿出某些中国人让别人证明是哪个民族的吗？
我当即回复：
“因为你不证明这个转型次数是有界的，也就不能说明它是无界的。只要存在一个转型次数是无界的构形，或者说转型次数是无穷的构形，就说明至少有一个构形是空不出颜色来给待着色顶点着上的，也就说明了四色猜测是不正确的；而只要证明了转型的次数是有界的，那么就说明任何构形都是可以空出颜色来给待着色顶点着上的，四色猜测也就是正确的。”
我在二月一日又回复张先生：
“张先生朋友：你昨天的比喻很不恰当。即就是不恰当我还想回复你一次，以结束我两个的这次辩论。首先，正是因为我国是一个多民族的国家（有五十六个民族）才有必要弄清每一个人的民族情况，才能决定有些事该怎么去做，也不会出问题。比如遇到回民朋友时，你请他吃饭就不能随便了，而必须到清真饭馆去用餐。所以任何历履表中都有“民族”一栏。同样，正因为不可避免的构形有多种，所以才要在遇到了颜色冲突时，首先要弄清是那一种构形类形，才能对症下药，解决该颜色冲突问题，否则冲突是解决不了的。”

雷  明
二○二一年元月三十一日整理于长安

注：此文已于二○二一年二月一日在《中国博士网》上发表过，网址是：