令 x+y=u, xy=v, 证明 x^n+y^n 一定能够表示成关于 u、v 的多项式

天山草@

如果令 \( x+y=u，x y=v，  \) ，那么  \( x^n+y^n  \)  一定能够表示成关于 \( u  \) 和 \( v \) 的多项式。

例如：




另外，如果令 \( x-y=u，x y=v，  \) ，那么  \( x^n-y^n  \)  可以表示成关于 \( u  \) 和 \( v \) 的多项式吗？

kanyikan

天山草@

用 mathematica 软件中的上述指令，可计算对称多项式的展开。上面这个指令是网友“葡萄糖”介绍的。

对于二元的对称多项式，上面图片中 u=x+y,  v=x y。

对于三元的对称多项式， 上面图片中 u=x+y,  v=x y,  w= x y+y z+z x。

天山草@