虫子爬行问题

波斯猫猫

虫子在天花板上从一点P出发，一直不断地按规则“先朝某个方向爬行5厘米后，依前进方向逆时针旋转一个角度α（0°＜α＜90°）；朝新方向爬行5厘米后，依前进方向顺时针旋转2α；再朝新方向爬行5厘米后，依前进方向逆时针旋转α；朝新方向爬行5厘米后，依前进方向顺时针旋转2α。”爬行。那么问题来了，这只虫子最后一定能回到起点P吗？若不能回到起点，为什么? 若不一定能回到起点，α取哪些值时虫子不能回到起点？α取哪些值时虫子能回到起点？它爬行的轨迹分别是什么图形？有几种情形？哪种情形所爬行的路径最短？最短路径是多少？

波斯猫猫

这个帖子是对wintex的帖子“从一点出发，前进1后逆时针转 45°，前进1后顺时针转 90°，求路径形成封闭区域的面积”做的一般性思考，有点意思。当α=2π/5，π/3，2π/7，π/4，....时，虫子都能回到起点。

xfhaoym

这问题很有意思．那有另一个问题：一个醉鬼从一电线杆下回家，他一步走一米，这时他左一步右一步，前一步，后一步．问：他走了一万步大概走了多远？（一本科普上的问题）

天山草@

与此问题类似，椭圆上有一个点 P，从 P 点以某个角度发出一束光线，如果椭圆“内壁”是由镜面铺成的，而这束光线经过有限次反射后正好回到起点 P。那么 P 点的位置和初始光线的发射角度应该是多少？

波斯猫猫

当α=2π/5，π/3，2π/7，π/4，....时，虫子都能回到起点。所对应的图形分别是n角星（n=5、6、7、8、9、...）。不妨试试看。