大Q猜想-素数的分布规律

大Q董老师

大Q猜想：
令P为一个正整数，则它的表达式如下：
   P=(2^n)*[∏(8ai+1)^mi]*[∏(8bi+3)^ki] *[∏(8ci+5)^gi] *[∏(8di+7)^qi]      i=1,2,3……
其中8ai+1、8bi+3、8ci+5、8di+7均为质数。8ai+1称为8N+1因子，8bi+3称为8N+3因子，8ci+5称为8N+5因子、8di+7称为8N+7因子。

当n=0，且P=8N+3时，
1）当8N+5、8N+7因子中，gi、qi均为偶数；8N+3因子中，∑ki为奇数时，P能写出a^2+2*b^2的形式。反之则P不能写出a^2+2*b^2的形式。
2）当P只有一个8N+3因子，P能写出1个a^2+2*b^2形式，且a、b互质时，P为质数。反之亦然。
3）当P中的8N+5、8N+7因子中，gi、qi均为偶数，P能写出的a^2+2*b^2形式的个数为[∏(mi+1)] *[∏(ki+1)]/2。

当n=0，且P=8N+5时，
1）当8N+3、8N+7因子中，ki、qi均为偶数；8N+5因子中，∑gi为奇数时，P能写出a^2+b^2的形式。反之则P不能写出a^2+b^2的形式。
2）当P只有一个8N+5因子，P能写出1个a^2+b^2形式，且a、b互质时，P为质数。反之亦然。
3）当P中的8N+3、8N+7因子中，ki、qi均为偶数，P能写出的a^2+b^2形式的个数为[∏(mi+1)] *[∏(gi+1)]/2。

当n=0，且P=8N+7时，
1）当8N+3、8N+5因子中，ki、gi均为偶数；8N+7因子中，∑qi为奇数时，P能写出a^2-2*b^2的形式。反之则P不能写出a^2-2*b^2的形式。
2）a^2在2P的范围内，当P有一个8N+7因子，P只能写出1个a^2-2*b^2形式，且a、b互质时，P为质数。反之亦然。
3）当P中的8N+3、8N+5因子中，ki、gi均为偶数，P（a^2在2P的范围内）能写出的a^2-2*b^2形式的个数为[∏(mi+1)] *[∏(qi+1)]/2。   
4) a^2如果超出2P范围外，那么满足3）的条件时，P能写出a^2-2*b^2形式的个数是无限个。

当n=0，且P=8N+1时，
1）当8N+3因子中，ki中有奇数；则P不能写出a^2+b^2、a^2-2*b^2的形式。
2）当8N+5因子中，gi中有奇数；则P不能写出a^2+2*b^2、a^2-2*b^2的形式。
3）当8N+7因子中，qi中有奇数；则P不能写出a^2+2*b^2、a^2+b^2的形式。
4）当P只有一个8N+1因子，8N+3、8N+5、8N+7每种形式都能写出1个组合，且a、b互质时，P为质数。反之亦然。
5）P在各种形式中能写出的组合符合8N+3、8N+5、8N+7规则。
即当P中的8N+5、8N+7因子中，gi、qi均为偶数，P能写出的a^2+2*b^2形式的个数为[∏(mi+1)] *[∏(ki+1)]/2。（8N+3）
当P中的4N+3（8N+3、8N+7）因子中，ki、qi均为偶数， P能写出的a^2+b^2形式的个数为[∏(mi+1)] *[∏(gi+1)]/2。（8N+5）
当P中的8N+3、8N+5因子中，ki、gi均为偶数，P（a^2在2P的范围内）能写出的a^2-2*b^2形式的个数为[∏(mi+1)] *[∏(qi+1)]/2。 （8N+7）

当n>0，P为偶数
一个偶数能否能写成a^2+b^2、a^2+2*b^2和a^2-2*b^2三种形式，首先判断降解掉2^n因子后的分类8N+1、8N+3、8N+5、8N+7。然后根据前述分类进行讨论，最终个数与去掉2^n因子后的8N+1、8N+3、8N+5、8N+7的个数一样。