计算定积分 ∫(0,π／2)√(tant)dt

elim

题：计算 \(\displaystyle\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sqrt{\tan{t}}\,dt\)

永远

老贴子，老题目，e老师有更好的方法，毕竟e老师学识渊博

永远

方法一

永远

通过分析计算得：看似毫不相干的两个积分的结果是相等的，看不出有啥用，我想类...
http://www.mathchina.com/bbs/for ... 7&fromuid=80637
(出处: 数学中国)


方法二，看图，用的是贝塔函数

重要公式：B(P,Q)=2∫sin^{2P-1}(x)cos^{2Q-1}(x)dx, 其中积分上限为π/2,下限为0。

elim

永远 发表于 2021-2-7 02:16
通过分析计算得：看似毫不相干的两个积分的结果是相等的，看不出有啥用，我想类...
http://www.mathchina. ...

喜欢伽玛，贝塔函数的人或许可以这样：
\(\displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sqrt{\tan{t}}dt=\frac{1}{2}\cdot 2\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sin^{2\cdot\frac{3}{4}-1}{t}\cos^{2\cdot\frac{1}{4}-1}{t}dt=\frac{1}{2}\cdot B\left(\frac{3}{4},\frac{1}{4}\right)\)
\(\displaystyle=\frac{1}{2}\cdot \frac{\Gamma\left(\frac{3}{4}\right)\Gamma\left(\frac{1}{4}\right)}{\Gamma\left(1\right)}=\frac{1}{2}\cdot\frac{\pi}{\sin{\frac{\pi}{4}}}=\frac{\pi}{\sqrt{2}}\)

永远

elim 发表于 2021-2-7 22:25
喜欢伽玛，贝塔函数的人或许可以这样：
\(\displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sqrt{\tan{t}}dt=\fr ...

因为这个计算的比较快些，如果用三角代换，一个一个的试太麻烦，看看3楼的代换就知道，等你算完了。也下课了，不如伽马贝塔函数来的快些，当然了，3楼等闲暇时间多了，一个一个慢慢试

elim

喜欢四两拨千斤的：
易见\(I=\int_0^\frac{\pi}{2}\sqrt{\tan(x)}\,dx=\int_0^\frac{\pi}{2}\sqrt{\cot(x)}\,dx.\) 故有
\begin{align*}
2I&=\int_0^\frac{\pi}{2}\left(\sqrt{\tan(x)}+\sqrt{\cot(x)}\right)\,dx\\
&=\int_0^\frac{\pi}{2}\left(\sqrt{\frac{\sin(x)}{\cos(x)}}+\sqrt{\frac{\cos(x)}{\sin(x)}}\right)\,dx\\
&=\int_0^\frac{\pi}{2}\frac{\sin(x)+\cos(x)}{\sqrt{\sin(x)\cos(x)}}\,dx\\
\end{align*}
作代换\(u=\sin x-\cos x\) 得，
\begin{align*}
2I&=\int_{-1}^1 \frac{1}{\sqrt{\frac{1}{2}(1-u^2)}}\,du\\
&=\sqrt{2} \left[\arcsin(u)\right]_{-1}^1\\
&=\pi\sqrt{2}
\end{align*}
\(\therefore\quad I=\dfrac{\pi}{\sqrt{2}}\)

永远

elim 发表于 2021-2-7 22:39
喜欢四两拨千斤的：
易见\(I=\int_0^\frac{\pi}{2}\sqrt{\tan(x)}\,dx=\int_0^\frac{\pi}{2}\sqrt{\cot(x) ...

e老师方法很巧妙，技高一筹，很好奇你是咋想到的

luyuanhong

楼上 elim 的解答很好！已收藏。