设 0≤x≤2π，0≤y≤2π，求三角函数式 2cosx+3cosy+3cos(x-y) 的最小值

boob

0≦x≦2π,0≦y≦2π
求2cosx+3cosy+3cos(x-y)的最小值

luyuanhong

boob

感谢陆老师指导

波斯猫猫

题：设 0≤x＜2π，0≤y＜2π，求三角函数式 2cosx+3cosy+3cos(x-y) 的最小值。
思路：（1）令f（y）= 2cosx+3cosy+3cos(x-y) ,则由f（y）′=-3siny-3sin(x-y)=0，即siny=sin(x-y)解得x=π，或x=2y,或x=2y-2π。
（2）当x=π时，f（y）= 2cosπ+3cosy+3cos(π-y）=-2。
当x=2y时，f（y）= 2cos2y+6cosy=（2cosy+3/2）＾2-17/4≥-17/4。
当x=2y-2π时，仍有f（y）=2cos2y+6cosy=（2cosy+3/2）＾2-17/4≥-17/4。
上述第二种情形当且仅当 2cosy+3/2=0，即cosy=-3/4时（y在第二或第三象限各有唯一解）等号成立（第三种情形和第二种情形只相差一个周期）。

王守恩

\(观察可得：当\ x=2y\ 时，有最小值\) (请大家补充)
\(2\cos(x)+3\cos(y)+3\cos(x-y)\)
\(=(2\cos(2y))+3\cos(y)+3\cos(2y-y)\)
\(=(4\cos^2(y)-2)+3\cos(y)+3\cos(y)\)
\(=(2\cos(y)+\frac{3}{2})^2-\frac{17}{4}\)
\(当\ y=\arccos(-\frac{3}{4}) \ 时，最小值=-\frac{17}{4}\)
\(y_{1}=138.59037789...\ \ \ \ x_{1}=277.1807558...\)
\(y_{2}=2\pi-y_{1}=221.4...\ \ x_{2}=2\pi-x_{1}=82.819...\)

一般地\(\ \ \ 0\leqslant x\leqslant 2\pi\ \ \ \ 0\leqslant y\leqslant 2\pi\ \ \ 0<b\leqslant2a\)
\(求\ a\cos(x)+b\cos(y)+b\cos(x-y)\ 最小值\)
\(当\ x=2y\ 时，可以有最小值\)
\(即：y=\arccos(-\frac{b}{2a}) ，最小值=-\frac{2a^2+b^2}{2a}\)
\(y_{1}=\arccos(-\frac{b}{2a})\ \ \  x_{1}=2\arccos(-\frac{b}{2a})\)
\(y_{2}=2\pi-y_{1}\ \ \ \ \ \ x_{2}=2\pi-x_{1}\)
\(y_{1}=x_{1}-y_{1}=x_{2}-y_{2} \)

天山草@

上面只有陆教授那个解法考虑的情况比较多，但是也不够 11 种吧？ 那怎么办呢？

如果用计算软件解，倒是简单。只是没有多大意思了：

波斯猫猫

天山草@ 发表于 2021-2-10 20:44
上面只有陆教授那个解法考虑的情况比较多，但是也不够 11 种吧？ 那怎么办呢？

如果用计算软件解 ...

题：设 0≤x＜2π，0≤y＜2π，求三角函数式 2cosx+3cosy+3cos(x-y) 的最小值。
思路：（1）令f（y）= 2cosx+3cosy+3cos(x-y) ,则由f（y）′=-3siny-3sin(x-y)=0，即siny=sin(x-y)解得x=π，或x=2y（0≤2y＜2π）,或x=2y-2π（2π≤2y＜4π）。
注意到：一元函数f（y）= 3cos(y-x)+3cosy+2cosx的周期和定义域[0，2π)，以及“常数”x∈[0，2π)

luyuanhong

波斯猫猫

设 0≤x≤2π，0≤y≤2π，0＜b＜2a ，求三角函数式 acosx+bcosy+bcos(x-y) 的最小值。

思路：令 f(y) = acosx+bcosy+bcos(x-y) ,其中 0≤x＜2π，0≤y＜2π，0＜b≤2a 。

则 f(y) = bcos(y-x)+bcosy+acosx = 2bcos(x/2)cos(y-x/2)+acosx

        ≥-2b｜cos(x/2)｜+acosx

        = -2b｜cos(x/2)｜+2a｜cos(x/2)｜^2-a

        = 2a(｜cos(x/2)｜-b/2a)^2-(2a^2+b^2)/2a

        ≥ -(2a^2+b^2)/(2a) 。

当且仅当｜cos(x/2)｜= b/2a 时取得最小值 -(2a^2+b^2)/(2a) 。

luyuanhong

楼上 波斯猫猫 的解答很好！已收藏。