已知当x∈[-1,1]时｜ax^2+bx+c｜≤1，求x∈[-1,1]时，cx^2+bx+a的取值范围（精）.

波斯猫猫

发表于 2014-10-19 08:36 | 只看该作者 |只看大图 回帖奖励
这是台湾网友 YAG 发表在“陆老师的《数学中国》园地”的一个帖子，由陆老师转发到《数学中国.论坛》。
原帖子（此论坛注明为“精”）虽然是用选择题的方式给出，但历时6年有余，目前已有1373人关注，可还没有解答过程。欢迎大家来讨论下面这个解答。

题：已知当x∈[-1,1]时｜ax^2+bx+c｜≤1，问：当x∈[-1,1]时，cx^2+bx+a之值落在下列哪一个区间？
      
      A     [-2，1]                B    [-1，1]                    C   [-2，2]                        D       [0，3]  

思路：（1）当x∈[-1,1]时，令f（x）=ax^2+bx+c，g（x）=cx^2+bx+a。

（2）由条件有｜f（0）｜=｜c｜≤1，｜f（-1）｜=｜a-b+c｜≤1，｜f（1）｜=｜a+b+c｜≤1。

所以，①-1≤c≤1，②-1≤a-b+c≤1，③-1≤a+b+c≤1。由②+③得，④-1≤a+c≤1。

（3）（从此加速）令⑤-r≤c-a≤t（r、t＞0），由④+⑤得，-（r+1）/2≤c≤（t+1）/2，而①-1≤c≤1，

从而r=t=1，即-1≤c-a≤1（确界），或｜c-a｜≤1。

（4）由（1）有g（x）=f（x）+（c-a）（x^2-1），

所以｜g（x）｜=｜f（x）+（c-a）（x^2-1）｜≤｜f（x）｜+｜（c-a）｜.｜（x^2-1）｜

≤｜f（x）｜+｜c-a｜≤1+1=2，即｜g（x）｜≤2。

这就是说，当x∈[-1,1]时，g（x）=cx^2+bx+a之值落在下列的区间C，即[-2,2]。

黄绪励

楼上的证明很好，有点看法供参考。只证明了｜g｜＜＝2，但等号是否一定成立，不能肯定。必须指明有g（x）的最大值达到2，且有g（x）的最小值达到一2。＜＝号是小于或等于。对于不同符合题设的a,b,c是用＜，还是＝。如果等号不成立，值域为（一2   2），＝号成立，才有[－2    2]。一家之言，不足为评。

波斯猫猫

知道。1，最后放大了两次，第一次没有问题，第二次也没有问题，后一次“=”号成立的条件由题设和“｜c-a｜≤1（确界）”保证,。2，f（x）与g（x）还有可能是一次函数和常值函数，是二次函数时，其最值还不一定在[－1， 1]上，有在区间[－1， 1]内和外两种情形。本法避免了分若干种情形繁琐的讨论（所以有个“从此加速”）。3，原帖子给出的选项是[－2，1]， [－1，1]， [－2，2]， [0，3]。

波斯猫猫

已知当x∈[-1,1]时｜ax^2+bx+c｜≤1，求x∈[-1,1]时，cx^2+bx+a的取值范围。就题目而言，可视为另一个问题“若不等式｜ax^2+bx+c｜≤1的解集为[-1,1]，求不等式｜cx^2+bx+a｜≤2的解集。”