按照概率学原理，你这牌一看就胡不了

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按照概率学原理，你这牌一看就胡不了

撰文 | 比邻星

春节要玩好，独乐乐不如众乐乐。

如果要选择一种声音代表新春佳节的团聚，除了噼里啪啦的鞭炮、杯盏相碰的清脆，一句“三缺一”和麻将桌上哗啦啦的搓麻声必定占有一席之地。

麻将在不同段位的玩家眼中代表着不同维度的世界。入门级小白只专注于面前的牌，久经沙场的老手更有大局观，心中装着整个牌桌的乾坤。而在一名理科生眼中，麻将是一场概率游戏和策略博弈。


19世纪的麻将牌长这样丨图源：Wiki

还真有数学家发表了关于“麻将数学”的研究论文，不仅编写程序计算胡牌的概率，更是致力于开发AI打麻将的技能。当然，机器人怎么打麻将倒是后话了，对于各位玩家而言，这些研究最大的价值在于能给麻将桌上的牌局以“专业”的理论指导。

故事还要从清一色讲起。

先补充点背景知识。标准麻将牌包含“筒”、“条”、“万”、“风”和“箭”五套花色，每种牌有4张是相同的。4名玩家初始摸得13张牌，之后按照逆时针摸一张牌再打出一张牌，直到他摸到最后一张牌，14张牌可以凑成23333的排列组合，即为胡牌。


从上到下分别为“筒”、“条”、“万”丨图源：Wiki

用公式表示就是
m*AAA+n*ABC+DD    m，n可以为0

如果最终胡牌的牌面为同一花色，就叫清一色。

一个叫李志光的数学家发现了一种有趣的牌形。


好牌丨图源：Mathematical aspects of the combinatorial game “Mahjong”

仔细看，你会发现下一张只要摸到的也是筒，不管是一筒到九筒中的哪一张，都可以胡牌。这牌，只要一推倒，众人定有不明觉厉之感。

这样的牌形叫“九门”（Nine Gate），李志光随后联想到，类似的“八门”、“七门”、“六门”……都有什么样的牌形，哪种出现的概率更高？

至此开始，一个娱乐问题成功上升为科研课题，行话叫“k门问题”。

用数学符号代表刚才的牌形，那就是

X1X1X1X2X3X4X5X6X7X8X9X9

计算概率，大体的思路就是尝试所有Xi的组合，然后检验每种组合是否符合k门的要求。这样的重复性运算，交给Python程序就够了。


一段源代码截图  网址链接：
https://cklixx.people.wm.edu/mathlib/Mahjong.py

结果是这样的。“九门”的组合有且仅有一种，它出现的概率为0.000113；八门有16种；一门的组合则有14067种，出现的概率是0.148。

k门问题只是个开始，发现能用数学方法研究麻将，另一个团队也跃跃欲试。他们关注到的问题是——如何判断距离胡牌还差几张牌？研究结果整理为论文《来玩麻将啊！》（Let’s play Mahjong!）


都是科研论文，这篇的画风就很可爱

这个问题很实用了，理解了其中奥义，你也能拥有牌局的大局观。来看看他们是怎么算的。

首先需要用数学语言定义每一种牌形。他们选择了一对数字（c, n），c表示花色，0为条、1为万，2为筒；n表示具体的数字。比如（0, 3）就是三条，（1, 5）就是五万。


（2,7）和（2,5） 图源：flicker

接下来设置一段数列V，即14个（c，n）的集合，用来表示完整的牌面。这时你就可以用逻辑语言定义出胡牌（complete）的条件。

最后一步是设计一个变量，定量地表示牌面的好坏。研究者引入了“缺牌数”的定义，也就是距离运算到胡牌状态，还差几张牌。

接下来的运算结果请收好，这是一份科学的打牌秘籍。

基础版——清一色

1. 如果你已经凑出了两个“3连”（包括刻子和顺子），且它们不连续，那么缺牌数小于等于2；

2. 如果你的牌面是以下两种情况之一，那么缺牌数为3
        5个对子+一个杠；
        5个对子+1个刻子+1张单牌

进阶版——多花色

1. 对于任意组合的一副牌，最大缺牌数为6。要置换6张牌才能胡的牌面就是最烂的牌；

2. 如果你的牌面是以下3种情况之一，那么缺牌数小于等于5
         两个不连续的“3连”（包括刻子和顺子）；
         一个“3连”和一个“准3连”（只需要碰一下或者吃一个就能凑出刻子或顺子）；
        4个“准3连”

面对具体的牌面时，置换麻将牌的方案不止一种，此时需综合考虑缺牌数和胡牌成本，以及方案的可行性。

举个栗子，如果你的牌面是这样的，那么你可以考虑3种搭配方案



先把牌码上，看起来顺眼一些。



第一种方案里，“准3连”B1B3还差一张B2（二条），但是整副牌中已经没有多余的二条，因此这种方案无效。方案二和方案三都是可行的，但是方案三的缺牌数更小，所以更优。

作为中国的经典传统游戏，麻将的玩家覆盖率在整个游戏江湖遥遥领先。不同地区有不同的打法。几分技巧、几分运气，还有好几分的乐趣。这种独特的牌类游戏也慢慢漂洋过海，传入了包括欧美国家在内的世界许多地方。还有研究证实，麻将的益智作用有益于阿尔茨海默病患者。


美国的娃们在课外活动课上学习打麻将丨图源：Wiki

当然，专业的科学家费劲编写程序来还原麻将的游戏规则，初衷倒不是为各位玩家搞一套打牌指南，而是为了开发人工智能。毕竟围棋高手阿尔法狗和阿尔法零相继横空出世，麻将高手机器人也指日可待。


问：图中有几个人在打麻将？丨图源：unsplash

各位麻将高手，你期待和机器人PK的那天吗？

写完此文，考虑到实践是检验真理的唯一标准，小编邻座的小哥默默把家里的麻将牌拿到了公司。

参考资料
1.Yuan Cheng, Chi-Kwong Li, and Sharon H. Li. Mathematical aspect of the combinatorial game “Mahjong”. ArXiv:1707.07345, 2017.
2.Sanjiang Li , Xueqing Yan.  Let’s Play Mahjong! arXiv:1903.03294v1

本文经转载自微信公众号“把科学带回家”。无标注图片来源网络。