求定积分 ∫(0,+∞)sin(tanx)／x dx 和 ∫(1,2)[ln(x+2)-ln(x+1)]／x dx

永远

永远

第一个可推广至含参a的一般形式

xuke

记\(D:\left[ 1,2 \right] \times \left[ 1,2 \right] \)
\begin{align}
I&=\int_1^2{\frac{\ln \left( 2+x \right) -\ln \left( 1+x \right)}{x}\text{d}x}
\\
&=\int_1^2{\frac{1}{x}\left( \int_1^2{\frac{1}{x+y}\text{d}y} \right) \text{d}x}
\\
&=\iint_D{\frac{1}{x\left( x+y \right)}\text{d}x\text{d}y}
\\
&=\iint_D{\frac{1}{xy}\text{d}x\text{d}y}-\iint_D{\frac{1}{y\left( x+y \right)}\text{d}x\text{d}y}
\\
&=\int_1^2{\frac{1}{x}\text{d}x}\int_1^2{\frac{1}{y}\text{d}y}-I
\end{align}
则有\(2I=\ln ^22\)，得到\(I=\frac{\ln ^22}{2}\)

luyuanhong

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