已知四面体 ABCD 的 5 条棱长都是 a ，求 ABCD 体积的最大值

波斯猫猫

已知空间四边形ABCD的边长与一条对角线的长都是a，求顶点与空间四边形顶点对应的四面体的最大体积。

luyuanhong

下面是我过去在《数学中国》发表过的一个帖子，可供参考：

wintex

luyuanhong 发表于 2021-2-27 23:48
下面是我过去在《数学中国》发表过的一个帖子，可供参考：

請問老師 表面積最大怎麼算

波斯猫猫

思路：借楼上lu教授的图。

（1）最大体积。在空间四边形ACBD中，AC=CB=BD=DA=AB=a，取AB的中点E，连CE，DE，由条件易证明

AB⊥平面CDE，易算得CE=DE=√3a/2。所以其体积V=（√3a/2）＾2sin∠CED/6≤a＾2/8。

（2）最大表面积。显然△CAD≌△CBD，所以表面积S=a＾2sin60°+a＾2sin∠CBD≤（2+√3）a＾2/2。

wintex

波斯猫猫 发表于 2021-2-28 07:37
思路：借楼上lu教授的图。

（1）最大体积。在空间四边形ACBD中，AC=CB=BD=DA=AB=a，取AB的中点E，连CE， ...

老師 如果改成 四面體邊長是  1,1,1,1,a,b
求體積最大為？ 此時 a,b=?
表面積最大為？此時a,b=?

wintex

luyuanhong 发表于 2021-2-27 23:48
下面是我过去在《数学中国》发表过的一个帖子，可供参考：

請問陸老師，樓2f 這個四面體x的範圍是？

中国上海市

设∠CED=θ，则底面ABD上的高为CEsinθ=0.5√3sinθ
V=(1/3)(0.25√3)0.5√3sinθ=(1/8)sinθ
当且仅当sinθ=1时
Vmax=1/8
此时θ=π/2
即平面ABC⊥平面ABD时取到Vmax