试证 lim(n→∞)∫(0,1)[1-x^(2n)]^[1／(2n)]dx=1，不一致收敛但积分求极限可交换次序

elim

题：试证\(\,\displaystyle\lim_{n\to\infty}\int_0^1\sqrt[2n]{1-x^{2n}}dx = 1\)
证：由\(\;0\le 1-x^{2n}\le\sqrt[2n]{1-x^{2n}}\le 1\;\;\small(0\le x\le 1),\)
得\(\displaystyle\,1-{\small\frac{1}{2n+1}}\le \int_0^1\sqrt[2n]{1-x^{2n}}dx\le 1.\) 对此关于\(\,n\) 取极限得
\(\displaystyle\,\lim_{n\to\infty}\int_0^1\sqrt[2n]{1-x^{2n}}dx = 1\)

elim

注意 \(\displaystyle\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{1-x^n}=\begin{cases}1,& 0\le x< 1,\\0,& x=1\end{cases},\)
\(\quad\{\sqrt[n]{1-x^n}\}\)在\([0,1]\)不一致收敛. 但
\(\displaystyle\lim_{n\to\infty}\int_0^1\sqrt[n]{1-x^n}dx=\int_0^1\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{1-x^n}dx\) 成立.

所以说即使对有限区间，一致收敛也只是函数列极限与积分交
换的充分条件，未必是必要条件。

luyuanhong

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