已知 A(2,0),B(-1,0) ，P 是直线 y=3√3x 上第三象限中的一点，求 PA+PB-OP 的最小值

波斯猫猫

波斯猫猫 发表于 2021-3-4 11:19
题：已知 A(2,0),B(-1,0) ，P 是直线 y=3√3x 上第三象限中的一点，求 PA+PB-OP 的最小值 。

思路：令PA ...

后一个判别式为何要小于零？

因关于x的二次函数t=7x＾2-12rx+6r＾2-6的图象开口向上，其函数值非负，即是函数的图象必须全在x轴的上方，至多与x轴有一个点（顶点），所以判别式非正。

天山草@

波斯猫猫 发表于 2021-3-4 11:30
把直线 y=3√3x 换成直线 y=kx （k＞0）也可得出同样的结论。

请波斯猫猫先生再看看，PA+PB-PO 的最小值究竟与直线的斜率是否有关？

下面是按照您那个做法重新写了一遍，过程和结论全都一样。也就是说最小值与 PO 的斜率无关：



但是为什么与实际情况不符合呢？——  按 θ=60° 作图和计算，理论最小值

并不是 √7 ≈ 2.64575，软件计算是约为 2.61354，实际画图也是  2.61354。

问题出在哪里呢？

下面是 θ=60° 时的理论最小值计算。

天山草@

问题在哪呢？ 我的看法是，如果令 \(PA=x>0， PB=y>0， PO=z>0\)， 可以推出 \( x^2 + 2 y^2 = 3 z^2 + 6 \) 是一个恒等式。在此基础上，能否推出 \( r= x + y-z \) 的最小值呢？ 不能。还缺一个条件， 就是  \( x \) 与 \( y \) 的关系。

楼上的  \( y^2 + 6 (x - r) y + 2 x^2 - 6 r x + 3 r^2 + 6 = 0 \) 并不是一个方程，而是一个恒等式。恒等式没有判别式的说法。

波斯猫猫

天山草@ 发表于 2021-3-4 20:50
问题在哪呢？ 我的看法是，如果令 \(PA=x>0， PB=y>0， PO=z>0\)， 可以推出 \( x^2 + 2 y^2 = 3 z^2 + 6 \ ...

1，本题确定的是OA和OB的距离。
2，能够确定范围的是直线倾角的范围。
3，您所称的那个恒等式并不恒等，只要有一个量变化，其它两个量都要随之而变化。
4，理论上没有问题，估计是电脑计算产生的误差，因为程序是人设计的。

天山草@

PA+PB-PO 的最小值是与 PO 直线的斜率  k 有关的，见下面数据和图像。

{0.25, 2.22294}, {0.5, 2.38063}, {0.75, 2.48007}, {1,
    2.54024}, {1.25, 2.57686}, {1.5, 2.59971}, {1.75, 2.61441}, {2,
    2.62413}, {2.5, 2.63527}, {3, 2.64073}, {3.5, 2.64349}, {4,
    2.64487}, {4.5, 2.64551}, {3 Sqrt[3], 2.64575}

说明：  0.25 表示直线斜率为 0.25，2.22294 是该斜率时的最小值。其余数据类推。这组数据的散点图如下：




图中最后一个点是斜率 k=3√3 时的最小值=√7≈2.64575。

FGNBGHJUOI

天山草@ 发表于 2021-3-5 10:23
PA+PB-PO 的最小值是与 PO 直线的斜率  k 有关的，见下面数据和图像。

{0.25, 2.22294}, {0.5, 2.38063} ...

不错，有道理的

doletotodole

luyuanhong 发表于 2021-3-4 00:48

正好可以构造出正三角形, 虽然很巧, 但是这个费马点的思路确实惊艳, 学习到了.
费马点原来和外接正三角形的外接圆有紧密联系.