在算术平均与几何平均之间插入一个方根平均的平方，证明这个不等式链成立

天山草@

\(a_1, a_2, \cdots, a_n>0\)，证明下述不等式链成立：

\(\sqrt[n]{a_1a_2\cdots, a_n}≤(\frac{\sqrt{a_1}+\sqrt{a_2}+\cdots+\sqrt{a_n}}{n})^2≤\frac{a_1+a_2+\cdots+a_n}{n} \)

上式最左边是 \(n\) 个正数的几何平均，最右边是\(n\) 个正数的算术平均，

中间是 \(n\) 个正数的方根平均的平方。

众所周知，几何平均小于等于算术平均，若在二者之间插入一个

“方根平均的平方”, 证明上述不等式链成立。

天山草@

证明如下：



上式左边是若干个正数的几何平均，中间是算术平均，右边是平方平均， 所以此不等式链成立，于是原不等式链也成立。

天山草@

再考虑到调和平均和平方平均，可构成由五个代数式组成的不等式链：

天山草@

还可以再插入一个不等式，构成由六个代数式组成的不等式链：



新插入的这个项是不对的，有反例证明它不成立，当 n=5,  各数字依次为 1，1，1，2，2 时就不成立。

前面由五个代数式组成的不等式还是对的，因为已有证明，除非证明是错的。

天山草@

上面新插入的那个不等式如何证明？

还能再插入别的不等式吗？

doletotodole

排序不等式是否可以直接出答案? 小等于平方和的平均, 也就是最后一项.

天山草@

现在需要证明的是下面这个不等式：



这个不等式是错的。例如当  n=3 时右半边是对的，但是左半边不一定对。