从圆上A直走到B，回头45度走到C，回头45度走到D，回头45度走到E，证明路线平分圆面积

ccmmjj

一个醉鬼从圆形操场Ａ点开始，沿直线走到了较近的圆上的Ｂ点。然后回头以45度角的方向走到圆上Ｃ点，再回头以45度角走到Ｄ点，最后仍回头以45度角从Ｅ点走出操场（如图）。然后他说：“我平分了操场”。这话可信吗？

波斯猫猫

估计可信。参考思路：

1，显然AB∥CD，BC∥DE，易得弧BD=弧AC=弧CE=圆周1/4。

2，取弧BF=弧AB，则弧FD=弧DE；取弧GA=弧AB,则弧GC=弧DE；取弧CH=弧AB，则弧HE=弧DE。

3，设圆的半径为。这样，计算出四边形ABCG的面积，看是否等于三角形BCF的面积；计算出四边形CDEH的面

积，看是否等于三角形CDF的面积。或者看这两个四边形的面积之和是否等于四边形BCDF的面积。

4，估计这个思路的计算量也较大

kanyikan

这个题用到这个结论（好像ccmmjj以前发布过）：

王守恩

kanyikan 发表于 2021-3-15 12:45
这个题用到这个结论（好像ccmmjj以前发布过）：

4楼的结论可以这样去想(谢谢 波斯猫猫网友！)。

\(记\ ∠ACE=a\ \ \ ∠BCF=45°-a\ \ \ \ CA=CB=\sin45°\ \ \ 则\)

\(AE=\frac{\sin45°\sin a}{\sin(45°+a)}\ \ \ BF=\frac{\sin45°\sin(45°-a)}{\sin(45°+45°-a)}\ \ \ EF=\frac{\sin45°\sin45°\sin45°}{\sin(45°+a)\sin(45°+45°-a)}\)

\(怎么证明？\big(\frac{\sin45°\sin a\ }{\sin(45°+a)\ }\big)^2+\big(\frac{\sin45°\sin45°-a \ }{\sin(45+45°-a)}\big)^2=\big(\frac{\sin45°\sin45°\sin45°\ }{\sin(45°+a)\sin(45°+45°-a)\ \ }\big)^2\)

\(化简：\big(\sin a\cos a\big)^2+(\sin(45°+a)\sin(45°-a))^2=(\sin45°\sin45°)^2\)

\(再化简：\frac{1}{4}\ \sin^2 (2a)+\frac{1}{4}\ \cos^2 (2a)=\frac{1}{4}\)

luyuanhong

ccmmjj

证明方法：
1，连接AE，交BC、CD于P、Q。由已知条件，可知AE是直径，分圆为两半圆。C是半圆中点，CAE是等腰直角三角形。
2，用（ABC）表示三角形ABC的面积，只要证明 (APB)+(QDE)=(QCP) 即可（即替换为两半圆）。
3，证明 △APB∽△QED∽△QPC，
4，AP、QE、QP为对应边，则对应面积为 kAP^2, kQE^2, kQP^2；k是比例常数。
5，根据 4楼提供的结论即证得 (APB)+(QDE)=(QCP)。
所以平分圆成立。

luyuanhong

楼上 ccmmjj 的帖子很好！已收藏。

好大一个家22

漂亮，哈哈哈哈。