四边形对角线 AC,BD 交于 O，∠BAC=∠DAC，CB=CD，M,N 为 OB,CD 中点，证 ∠MAC=∠DMN

denglongshan

luyuanhong 发表于 2021-3-21 18:07
楼上 王广喜 的证明很好！已收藏。下面是我的另一种证法：

AB大于AD不是必要条件，只要A、B、C和D四点共圆即可。

ccmmjj

这里有一个仿射几何的结论：

椭圆上一点A，弦BC平行于过A的切线。D是椭圆上不同于A、B、C的一点，E是DA与BC交点到B的中点。DE交椭圆于另一点F，G是AC的中点。那么，EG平行于AF。

这里，共线、平行、中点是更基本的仿射性质。所谓的角相等掩盖了问题的本质。

王守恩

看 1 楼的图：
1，等腰三角形 BCD，A 是底边 BD 外的点，连接 AD，
若 AD 是 ∠BAD 的平分线，则 A, B, C, D 四点共圆。
2，倒过来：若 A, B, C, D 四点共圆，BCD 是等腰三角形，
则 AD 是 ∠BAD 的平分线。
不能用太多的题目，就得让自己进步起来：
这是常识！不是知识！！话说得重了？

王守恩

已知：A,B,C,D 共圆
求得：A,M,N,D 共圆，则
(180°)=(∠AOM+∠OBA+∠OAB)
          =∠AOM+∠OBA+(∠OAB)
          =∠AOM+∠OBA+(∠OBC)
          =∠AOM+(∠OBA+∠OBC)
          =∠AOM+(∠ABC)
          =∠AOM+(∠ABC)
          =∠AOM+(∠AMN)
          =∠AOM+(∠AMN)
          =∠AOM+(∠OMA+∠OMN)
         =(∠AOM+∠OMA+∠OAM)=(180°)
      即：∠OMN=∠OAM


我还是欣赏9楼的方法：笨一点，只要有耐心，什么题都可以做。

doletotodole

王广喜 发表于 2021-3-17 16:49
尝试一下。

非常精彩的思路, 利用2个中点构造两个中位线, 产生等腰梯形直接出来共圆, 学习了.

doletotodole

luyuanhong 发表于 2021-3-21 18:07
楼上 王广喜 的证明很好！已收藏。下面是我的另一种证法：

非常精彩的解法, 原来三角形角平分线不仅使得外接圆产生等腰三角形, 而且还隐藏了几个相似三角形.

还能利用相似比例线段导出中点处的比例线段一样满足相似比, 导出那个小角相等.
学习了.

denglongshan