用数学归纳法证明 De Moivre 定理：(cosθ+isinθ)^n=cos(nθ)+isin(nθ)

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用数学归纳法证明棣莫弗定理

波斯猫猫

证：（1）当n=1时，(cosθ+isinθ)^n=cos(nθ)+isin(nθ)显然成立。

（2）假设n=k时，(cosθ+isinθ)^k=cos(kθ)+isin(kθ)成立，

那么，n=k+1时，左边=(cosθ+isinθ)^（k+1）=[cos(kθ)+isin(kθ)]（cosθ+isinθ）

=cos(kθ)cosθ-sin(kθ)sinθ+i[sin(kθ)cosθ+cos(kθ)sinθ]

=cos(k+1)θ+isin(k+1)θ=右边，即是说，当n=k+1时，(cosθ+isinθ)^n=cos(nθ)+isin(nθ)也成立。

综上，对任意n∈N+,等式(cosθ+isinθ)^n=cos(nθ)+isin(nθ)都成立。

注：用数学归纳法证明数学命题，实质上是一个模式化的过程。这个过程就是在第二步递推时，都要朝着有利于实现目标的模式方向转化。

luyuanhong

楼上 波斯猫猫 的解答很好！已收藏。