设 ω=e^(2πi/7)，f(k)=|1-ω^k||ω^(k+1)-ω^(2k+1)|+……，求 f(0)f(1)f(2)

wintex

請問代數

luyuanhong

下面是我过去在《数学中国》发表过的一个帖子：

luyuanhong

fungarwai

陸老師算出來的f(0),f(1),f(2)長得很相似，原因是什麼呢？
\(|1|=|\omega^k|=|\omega^{k+1}|=|\omega^{2k+1}|\)
這四個向量共圓，由托勒密定理可得
\(f(k)=|1-\omega^k||\omega^{k+1}-\omega^{2k+1}|+|1-\omega^{2k+1}||\omega^k-\omega^{k+1}|\)
\(=|1-\omega^{k+1}||\omega^k-\omega^{2k+1}|=|1-\omega^{k+1}|^2\)
下面一樣
\(f(0)f(1)f(2)=\prod_{k=1}^3 |1-\omega^k|^2
=\prod_{k=1}^6 (1-\omega^k)
=\sum_{k=0}^6 1^k=7\)

wintex

fungarwai 发表于 2021-3-20 12:37
陸老師算出來的f(0),f(1),f(2)長得很相似，原因是什麼呢？
\(|1|=|\omega^k|=|\omega^{k+1}|=|\omega^{2k+ ...

老師可以帶個圖嗎 解答可詳細點嗎 謝謝

fungarwai

wintex 发表于 2021-3-20 14:32
老師可以帶個圖嗎 解答可詳細點嗎 謝謝

我講緊複數平面
一個複數z=x+yi的實部用沿著x-軸的位移表示，虛部用沿著y-軸的位移表示