Taylor（泰勒）公式是怎样被人们发现的？

永远

最近在看《微积分的历程》这本书，看到牛顿那一章节，里面提到，牛顿利用广义二项展开式和他自己命名的“流数术”，也就是微积分，推导出了正弦函数的无穷级数展开式，这是历史上第一次用无穷级数表示三角函数
这和后来泰勒提出的、被我们现在经常使用的泰勒公式一模一样！这是有什么巧合嘛，还是说，广义二项展开式和泰勒公式有什么渊源，广义二项展开式的原理和泰勒公式的原理貌似不一样吧

luyuanhong

下面是我过去在《数学中国》发表过的一个帖子，可供参考：

永远

luyuanhong 发表于 2021-3-21 23:32
下面是我过去在《数学中国》发表过的一个帖子，可供参考：

我很好奇，当n是正整数展开式是有限项这好理解。

但当n是负整数或分数时，展开式是无限项级数，为啥是无限项级数？老师你需要分析解释一下？？？？

luyuanhong

二项式 (1+x)^n 级数展开式中的系数是 n(n-1)(n-2)…（n-k+1)/k! ，其中 k=0,1,2,…… 。

如果 n 是正整数，随着项数增多，k 不断增大，当 k 大到等于 n-1 时，就会使得系数 n(n-1)(n-2)…(n-k+1)/k!=0 。

再后面的一项，k=n ，因为系数中含有 n-k 因子，所以也会等于 0 。

再后面的一项，k=n+1 ，因为系数中含有 n-k-1 因子，所以也会等于 0 。

…… ，

总之，当  n 为正整数时，后面各项系数都等于 0 ，所以级数不可能无限延伸下去，变成了有限项级数。

当 n 不是正整数时，随着 k=0,1,2,……  不断增大，系数 n(n-1)(n-2)…（n-k+1)/k! 永远不可能等于 0 ，

所以，当 n 不是正整数时，级数可以无限延伸下去，不会变成有限项级数。

中国上海市

大学数学系里面是不是有一门课叫做《数学史》的？

doletotodole

luyuanhong 发表于 2021-3-22 00:11
二项式 (1+x)^n 级数展开式中的系数是 n(n-1)(n-2)…（n-k+1)/k! ，其中 k=0,1,2,…… 。

如果 n 是正整 ...

LU教授, 我很好奇, 能不能把初等函数都用对数函数或者指数函数表示出来?
我知道都可以用三角函数和幂函数表示出来, 但是没有上面的方法?

是被证明了, 无法实现, 还是至今没人研究出来?

还有, 为什么初等函数都可以求导, 但是听说绝大部分都是求不出不定积分的?

还有, 为什么e^x=1/x 求不出精确值? 是证明了无法求出, 还是可以求出, 但是还没人做到?

这些问题困扰了很多年, 一头雾水.

永远

在我映像当中：先有泰勒公式，后有麦克劳林级数公式。然后麦克劳林级数公式是高校教师麦克劳林在泰勒公式当x=x0时的特例！这样分析来，麦克劳林教师就没有多大贡献啦。

数学历史终归历史！无法改变。事实上先有麦克劳林级数公式，后有泰勒级数展开公式！泰勒将早已公众知晓的麦克劳林级数公式稍加推广，就得到泰勒级数展开公式，这明显站在巨人的肩上成功！！！我认为泰勒的贡献不大，要不是有麦克劳林的前期贡献更何况麦克劳林公式与泰勒级数展开公式本质是一样的，这一点上我不服泰勒

如果按照这样的惯例，那本论坛同样是高校教师陆教授也不知推广了多少公式且给出多个公式的证明，算不算数学大家了，哈哈，开玩笑而已