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费马小定理与循环小数 (2013-07-28 10:15:25)转载▼
分类： 趣味数学
（选自《数论妙趣——数学女王的盛情款待》第十章 循环到无穷）
我们知道，如果某个整数的倒数，可以表达为有限小数，其必要条件是该整数只含有2,5的方幂，或者兼而有之。否则，将出现循环小数。
研究循环小数，就要掌握循环节的规律。对此，费马小定理10p－1≡1 mod p，发挥了重要作用。要求一个质数p的倒数，就要用p去除10p－1。例如，要求质数7的倒数，就要用7去除106。
不过，有时10的指数可能小于p－1，此时，10e≡1 mod p。这种较小的指数e，一定是p－1的因子；如果e是给出余数1的最小指数，则e还表示，p的倒数表示为小数时，其循环节有e位。
例如，由费马小定理，102≡1 mod 3，但是，较小的指数1即可满足101≡1 mod 3，p－1＝3－1＝2，1是2的因子，1/3在化成小数时，循环节有一位。事实上，1/3＝0.333…。
再如，102≡1 mod 11，p－1＝11－1＝10，e＝2，2是10的因子，1/11在化成小数时，循环节有两位。事实上，1/11＝0.0909…。
再如，106≡1 mod 13，p－1＝13－1＝12，e＝6，6是12的因数，1/13在化成小数时，循环节有六位。事实上，1/13＝0.076923079623…。
如果，10的指数必须取p－1，如106≡1 mod 7，此时，小于6的指数不能使同余式成立。所以，1/7的循环节有六位。实际上1/7＝0.142857142857…。
再如，1016≡1 mod 17，此时，小于16的指数不能使同余式成立，所以，1/17的循环节有16位。实际上1/17＝0.05882352941176470588235294117647…
像这样，如果对于质数p，10的指数必须取p－1，就说10是p的一个“原根”。6就是质数7的一个原根；16就是质数17的一个原根。对于100以内的质数来说，10还是19,23,47,59,61,97的原根。
对于以10为原根的一切质数，其倒数的循环节为偶数位，并且还有两个奇妙性质：
性质一：1/p的整数倍，其循环节只是1/p的循环节数字的重新轮转；
性质二：循环节可以拦腰分成两段，两段对应数字之和都是9。
以质数7为例：
1/7＝0.142857142857…循环节是142 857。1＋8＝9,4＋5＝9,2＋7＝9；
2/7＝0.285714285714…循环节是285 714。2＋7＝7,8＋1＝9,5＋4＝9；
3/7＝0.428571428571…循环节是428 571。4＋5＝9,2＋7＝9,8＋1＝9；
4/7＝0.571428571428…循环节是571 428。5＋4＝9,7＋2＝9.1＋8＝9；
5/7＝0.714285714285…循环节是714 285。7＋2＝9,1＋8＝9,4＋5＝9；
6/7＝0.857142857142…循环节是857 142。8＋1＝9,5＋4＝9,7＋2＝9。
对于不以10为原根的质数，只要循环节是偶数位，性质二也成立；至于合数的倒数，即使其循环节由偶数个数字组成，也未必具有性质二这种循环节的互补性。
每个循环小数，不论它的循环节有多长，都是一个有理数，都可以表示为两个整数之商，即一个分数。要求出这个分数，可以按以下方法进行：
设A＝0.076923076923…，循环节有六位。于是106A＝76923.076923…。两边减去原数，得999999A＝76923。所以A＝76923/999999＝1/13。
再如，设A＝0.0731707317…，循环节有五位。于是105A＝7317.07317…。两边减去原数，得99999A＝7317。所以A＝7317/99999＝3/41。 |
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发表于 2018-5-20 08:25
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