关于非标准分析中的无穷单位元 Ω

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陆教授曾经在论坛上介绍过非标准分析，讲述了非标准分析中的无穷大单元Ω，并对Ω作了定义，①Ω具有实数的一切性质，除与②规定的之外；②Ω大于一切实数。但事实上对于Ω来讲这个条件①是很难满足的，例如对于任意实数x我们都可以知道sinx是大于0还是小于0或者是等于0，但是，对于Ω来说，大家无法判断sinΩ到底是大于0？小于0？还是等于0？再比如，对于任意实数x，我们能知道√x是有理数还是无理数？lgx是有理数还是无理数？但是，对于Ω来说，√Ω、lgΩ也无法判断其到底是有理数还是无理数，或者对于任意实数x，x弧度的角在第几象限等等，这些性质Ω都不具备，当然，可能这些性质虽然Ω不具备，但也不影响Ω在非标准分析中的作用，但是个人觉得我们还是不能说Ω具有实数的一切性质，毕竟与实际情况不太符合

luyuanhong

    在非标准分析中，我们可以引入一个无穷单位元（Infinity Unit）Ω ，对它给出这样的定义：

（1）Ω 具有正整数（除了与下面（2）矛盾的以外）的一切性质。

（2）Ω 大于任何实数。

    我们知道，如果 n 是一个普通的正整数，我们总可以回答这样的问题：

    n/2 是整数还是分数？√n 是有理数还是无理数？sin(n) 是大于 0 还是小于 0 ？…… ，等等。

    既然 Ω 具有正整数的一切性质，我们自然也会想到这样的问题：

    Ω/2 是整数还是分数？√Ω 是有理数还是无理数？sinΩ 是大于 0 还是小于 0 ？…… ，等等。

    在非标准分析中，如果在解题时遇到这类问题，有两种处理方法：

（一）对于解题时需要用到的无穷大正整数，我们可以临时设定 Ω 的某些属性。例如：

    我们可以设 Ω 是一个奇数，这样 Ω/2 就必定是一个分数而不是整数。

    我们可以设 Ω 是一个非完全平方数的整数，这样 √Ω 就必定是一个无理数而不是有理数。

    我们可以设 Ω 除以 2π 整数倍得到的余数落在 (0,π) 内，这样 sinΩ 就必定大于 0 。

    …… ，等等。

（二）对于解题时需要用到的无穷大正整数，我们可以将它表示为 Ω 的某种函数形式。例如：

    我们可以将无穷大正整数表示为 2Ω+1 ，这样 (2Ω+1)/2 就必定是一个分数而不是整数。

    我们可以将无穷大正整数表示为 Ω^2+1 ，这样 √(Ω^2+1) 就必定是一个无理数而不是有理数。

    我们可以将无穷大正整数表示为 2Ωπ+θ ，θ∈(0,π) ，这样就必定有 sin( 2Ωπ+θ)＞0 了。

    …… ，等等。

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谢谢陆教授的解答这样一来问题就解决了