回归素数正道2

小土一日生

    回归素数正道2
书眉：正整数的K节分类。
作者：小土一日生       地址：1608908364@qq.com
摘要：孪生素数猜想多年未能得到证明，是因为前人在素数问题上未走上正道！
过去只把正整数分为奇、偶数两大类。本文进一步分类：类似同余、
但目的是讨论各类在连续的正整数中所占的比例与个数！
发现哥德巴赫猜想与孪生素数猜想都是这条链上拴着的蚂蚱！
关键词：零类、素类、素数、逆零类、共素类。
       
约定1、“”称同类号，“ô”称可整除号，各号加一撇为否定号。
约定2、讨论i节数时通常加足码i区分。
特别地P1=2， P2=3，……　Pi　，……Pk（表示第K个素数），
P1至Pk这连续K个素数的连乘积用Pk!表示。
约定3、若AK各节的余数都为零记为0k，有两种可能0k≡0，0k≡pk!
约定4、若AK有一节的余数为0则称AK为零类,记为Ak=t&#8226j+0
定义1：若AK与 BK各节的余数都相同，则说AK与BK是同类记为AK≡BK
定义2：若AK各节的余数都非0，则说AK为素类。
定义3：若AK第i节的余数非0，则说Pi   / AK （i=1,2,3…k）   
定义4：若AK第i节的余数为零，则说Pi  ô  AK  （i=1,2,3…k）

一个正整数除以素数必定产生余数，下面我们根据余数的情形进行分类：
一、                         1节数
我们把根据除以素数2的余数进行分类的数称为1节数。
1节数将正整数分为2大类：
① 表示除以2余数为1的类记为（2:1）称1节表示法，就是过去的奇数类。
表示方法为：11≡31≡（2:1）≡51••••••。（主要讨论括号中非常形的类）
② 表示除以2余数为0的类记为（2:0）称1节表示法，就是过去的偶数类。
    表示方法为：21≡41≡（2:0）≡61••••••。
素数2称为1节分类的基素数、又称为1节同类的最小间距。
由于在全体正数中奇数并不具有优势比偶数多，因而1节零类偶数的个数
在正整数中所占比例为（1／2）；剩余的都是1节素类奇数、
因而1节素类的个数在正整数中所占比例为（1－1／2）。
下面给出例题：（11+2）≡31≡（2:1），（21+2）≡41≡（2:0）
所以2称为1节同类的最小间距，一般地pk!称为k节同类的最小间距。
二、                      2节数
我们把根据除以素数2与3的余数进行分类的数称为2节数。
2节数将正整数分为6大类：
以后讨论的类较大因而对于6类我们没有新的名词这里只能给出2节关系式：
① 12≡（2:1,3:1）≡72；  ② 22≡（2:0,3:2）≡82；  ③ 32≡（2:1,3:0）≡92
④ 42≡（2:0,3:1）≡102； ⑤ 52≡（2:1,3:2）≡112； ⑥ 62≡（2:0,3:0）≡122
注意(2:1,3:1)内有2节所以称为2节数，第1节表示的是除以2余数为1、
第2节表示的是除以3余数为1，其它括号类似。
我们通过例题可以看出各括号间至少有一节的余数不同，
所以为6类；同类的最小间距为2×3＝6
由于没有一类在全体正整数中具有优势比它类多，因而每类均占正整数的1/6 。
由例题可以看出：3个1节素类在升节成2节数时有1类第2节的
余数为0的零类，占1节素类的1／3；计算素类比例时需减去、
因而2节素类在正整数中所占比例就为（1－1／2）•（1－1／3）
3节数有30类、4节数有210类、5节数有2310类我们不再一、一介绍。
因为我们的目的是讨论各类在连续的正整数中所占的标准比例，
进而计算每类的个数，介决前所不能的问题！

下面给出数2分别为3节数、4节数、5节数的非常形来看各节数的差异:
① 23≡(2:0,3:2,5:2) ≡323;             ② 24≡(2:0,3:2,5:2,7:2) ≡2124
③ 25≡(2:0,3:2,5:2,7:2,11:2) ≡23125    由例题可以看出下节数只比上节数
增加了下一个素数作除数时的余数情况，且同类的最小间距为PK!
三、     K节数：K节分类及素类与素数
分别用P1至Pk做除数的分类称K节分类,这k个素数称为基素数。
下面给出k节分类的系统的详细的证明：
K节数的加、减、乘的运算规择：
设AK= Pit+n；BK= PiS+m （n＜Pi、m＜ Pi）则AK与 BK在加、减、乘运算时
必产生两部份：Pi的倍数加余数运算的结果两部份（i=1、2、3…k）。
本文只需判定运算结果除以Pi的余数情况，则据余数的运算结果即可判定。
立得运算规则：当K节数进行加、减、乘运算时只需逐节讨论余数的运算结果；
当余数运算结果＜0时，余数部份加Pi即可，
当余数运算结果≥Pi时，余数部份减pi即可。
下面给出2节数例题：
32≡（2:1,3:0）      32≡（2:1,3:0）      32≡（2:1,3:0）
＋12≡（2:1,3:1）    －12≡（2:1,3:1）    ×22≡（2:0,3:2）
＝42≡（2:0,3:1）    ＝22≡（2:0,3:2）    ＝62≡（2:0,3:0）
注意：在减法运算时为不产生负数通常AK≥BK时才做AK－BK


定义1：若AK与 BK各节的余数都相同，则说AK与BK是同类记为AK≡BK
引理1：若AK ≡BK  则AK－BK ≡0K  
证：由定义1知AK与BK各节的余数相同、再由运算规则知AK－BK ≡0K
再由逆否命题的等效性立得：
引理2：若AK－BK ≡ / 0K  则AK ≡ / BK
引理3：若AK－BK ≡CK 且0< CK <K!      则AK ≡ / BK
证：由前提知PK! &#61684; / CK  则CK至少有一节的余数非零、即CK ≡ / 0K
得AK－BK ≡ / 0K ，再由引理2知：  AK  ≡ / BK
引理4：必定存有大于（任意的）Pk的素数
证：因为（Pk！+1）不能被小于等于Pk的素数整除，因而（Pk！+1）
要么是大于Pk的素数的积、要么是大于Pk的素数，即命题得证。                                                                          

定理1：①正整数在K节分类时可分为Pk！类，
②K节分类时、余数的所有可能都存在！
③每类的个数在正整数中占的标准比例为1/ Pk！。
④K节分类时PK＝（2→∞） 。
证：①从任意连续的Pk！个数中任取两个数BK 、AK （AK >BK）
则0<AK－BK< PK! 由引理3、知AK ≡ / BK
即任意连续的PK!个数在K节分类时必可分为PK!类；
由于K节数的余数：第一节有两种可能、第二节有三种可能……
第K节有Pk种可能、K节恰好有Pk！种可能，且没有可能之外的类；
即Pk！种可能恰好全用上 将正整数分成Pk！类。
②由①知K节分类时余数所有的可能都存在；
③ 设Ak  、Bk为任意两类中最小的数   n=(1→∞)     由运算规则知：
Ak+（n-1）Pk!≡Ak      Bk+（n-1）Pk! ≡Bk   成立  ，两式左端
随着n的变化可给出同类中的任何数，因而根据相同的n对两类
建立一、一对应的关系  ， 即知两类的个数同样多！
即K节分类将正整数平均地分为Pk!类，
每类在正整数中占的标准比例为1/ Pk！   
④  由引理4知K节分类时PK＝ （2→∞ ）                           证毕
注意：标准比例对于Pk!的任何倍数都是准确的；
而在连续的nPk! –m(0＜m＜Pk!)个数中会有m类
的个数较它类少一个，则按标准比例计算时误差为1

定理2：K节分类时在正整数中,从2节数开始i节数中的
任一类的个数为i－1节数中任一类的个数的1/ Pi
证：由定理1③知在正整数中：i节数中的每类的个数占1/ Pi！
i-1节数中的每类的个数占1/ Pi-1！再由1/ Pi！／1/ Pi-1！=1/Pi  得证。
下面讨论K节分类时素类的个数在正整数中所占的标准比例：
1、由定理1③知一节数中零类的个数在正整数中
占1／2 因而一节素类（奇数）的个数在正整数中占（1－1/2）
2、由定理1②知一节素类中任一类当升节成第二节余数为0时的
零类是存在的；再由定理2知该零类为一节素类个数的1/3；
在讨论2节素类时需减去，因而二节素类的个数在正整数中
所占的标准比例为：（1－1/2）&#8226;（1－1/3）
3、继续仿照2可得K节分类时素类在正整数中占的标准比例用f(PK)表示为：
定理3：f(PK)=（1－1/2）&#8226;（1－1/3）&#8226;（1－1／5）……（1－1/ Pk）
           则零类的个数在正整数中所占的标准比例为1-f(PK)
通常计算f(PK)的量是很繁的，但从第二节开始第j节括号内的分子
大于等于第j-1节括号内的分母相互约去后只会变小不会变大，
因而为方便计算时可采用f(PK) ≥1／PK

定义2：若AK各节的余数非0，则说AK为素类。
定义3：若AK第i节的余数非0，则说Pi  &#61684; / AK   (i=1,2,3…k)
定理4：若素类AK<(Pk＋1)2（AK&#61625;1）   则AK是素数。
证：由定义2知素类AK各节的余数非0再由定义3知素类AK不能
被Pk内任意的素数Pi整除，而AK若为大于Pk的素数的积
则与 AK<(Pk＋1)2矛盾，因而AK是素数。                 由定理4立得：
定理5：K节分类时、若Pk2＜2N<(Pk＋1)2
则2N内划掉零类剩下的素类除1外都是素数   称2N内留素数
定义5：若P与P-2都是留素数，则称P为长兄素数。

由定理5知2N内的数可划分为3类：素类1、零类、留素数。
因而对于留素数P若P＞3时只有两种可能：
要么（P-2为留素 数 ）P为长兄素数
            要么（P-2=t&#8226j为零类）P非长兄素数         
下文的目的是从定理5的留素数中排除非长兄素数保留长兄素数     

四、      逆零类、逆素类、共素类                     
定义6：若AK有一节的余数为2则称AK为逆零类（Ak= tPj +2）
约定5：若AK各节的余数无2则称AK为逆素类。
约定6：若AK各节的余数即无0也无2,则称AK为共素类。
注意：讨论K节共素类时需将零类与逆零类消去！
下面讨论K节分类时共素类的个数在正整数中占的标准比例：
1、由于1节数无逆零类再由定理1③知
一节数中的零类（偶数）的个数在正整数中仍然占1／2
因而一节共素类（奇数）的个数在正整数中占（1－1/2）
2、由定理1②知一节共素类中任一类当升节成第二节余数为0与2时
构成的2个零类与逆零类是存在的；由定理2知这2个零类
在正整数中都为一节共素类个数的1/3；在计算2节共素类时
我们需取消两次，因而二节共素类的个数在正整数中
占的标准比例为：（1－1/2）&#8226;（1－2/3）
3、继续仿照2可得在正整数中共素类个数占的标准比例用F(PK)表示为：
定理6：F(PK)=（1－1/2）&#8226;（1－2/3）&#8226;（1－2／5）……（1－2/ Pk）
    （则K节分类时共零类的个数在正整数中所占的比例为1-F(PK)
通常计算F(PK)的量是很繁的，但从第3节开始第j节括号内的
分子大于等于第j-1节括号内的分母相互约去后只会变小
不会变大，因而为方便计算时可采用F(PK) ≥1／2PK
由定理6得到K节分类时计算任意2N内共素类的个数用f(2N)表示的
定理7：f(2N)=2N&#8226;F(PK) （当2N非Pk!的整数倍数时保留整数部份）。
引理5：若留素数P非长兄素数则P是逆零类。
证：由前提知 P-2= tPj 则P=t&#8226;Pj +2由定义6知P为逆零类。
定理8：若Pk2＜2N<(Pk＋1)2则2N内的共素类为1和长兄素数。
证：由定理5知K节分类时2N内划掉零类 ，剩1与留素数，
再划掉逆零类成为共素类由引理5知   剩1和长兄素数。
   

据定理8再让定理7中的
2N满足Pk2＜2N<（Pk＋1）2再去掉非长兄素数的1就得到了
计算2n内的长兄素数的个数用F(2N，PK)表示的定理：
定理9：       F(2N，PK)=2N&#8226;F(PK)-1           【 PK2＜2N＜(PK＋1）2】
让定理9中的F(PK)缩小为1／2PK；2N缩小为PK2 即得对2N≥6的偶数
计算其内较少的长兄素数个数的最简公式：      F(2N，PK)＞PK／2－1
由定理1④知K节分类时PK＝（2→∞），因而当Pk＝∞时据最简公式
得到的2N内的长兄素数就会无限多≈∞／2，即孪生素数无限多！      证毕！