z 是不等于 0 的复数，已知 z+1／z 是实数，证明：z^n+1／z^n 也是实数

wintex

z是不等於0的複數
已知z+1/z是實數
證明z^n+1/z^n是實數

kanyikan

令z=a+bi，由z+1/z=0得b=0或a^2+b^2=1。
当b=0时，结论显然。
当a^2+b^2=1时，令a=cosθ，b=sinθ，所以z=cosθ+isinθ
由棣模弗知，z^n=cos(nθ)+isin(nθ)，所以1/z^n=cos(nθ)-isin(nθ)
所以z^n+1/z^n=2cos(nθ)，为实数，结论成立。

luyuanhong