矩形ABCD中，AD=2，AB=2√3，E 在 AB 上，DF=1，CG=√3，求 ΔEFG 周长和面积的最小值

王守恩

elim 发表于 2021-4-28 11:37
数学的精髓不在于数值计算，而在于对问题的深入洞察和发现规律，法则。
本主题的面积问题最后被表示为 ...

这些可都是正整数了。

1,矩形ABCD中，AD=AB=30，E 在 AB 上，DF=CG=10，求 ΔEFG 周长最小值(=64)
   NMinimize[{Sqrt[x^2 + (u - v)^2] + Sqrt[y^2 + (v + z - u)^2] + Sqrt[z^2 + (x - y)^2],
   10^2 == v^2 + (30 - x)^2, 10^2 == (30 - y)^2 + (30 - v - z)^2}, {x, y, z, u, v}]

2,矩形ABCD中，AD=AB=40，E 在 AB 上，DF=CG=10，求 ΔEFG 面积最小值(=350)
   NMinimize[{1/2 Sqrt[((u - v) (x - y) - x z)^2],
   10^2 == v^2 + (30 - x)^2, 10^2 == (40 - y)^2 + (40 - v - z)^2}, {x, y, z, u, v}]

elim

关于主贴的最小周长问题有如下结果：\(\triangle EFG\) 的内心\(\,I\) 使得
\(D,F,I\) 共线,\(\;C,G,I\) 共线, 且\(\,\overline{IE}\perp\overline{AB}\) 是其达到周长最小
值的充要条件。

elim

至此，有关主贴问题的理论分析和处理原则上已经完成。有兴趣的朋友可以作一个概括和改进，或者提出全新的解法。应该说主贴问题是很有价值的。

王守恩

elim 发表于 2021-4-30 07:53
至此，有关主贴问题的理论分析和处理原则上已经完成。有兴趣的朋友可以作一个概括和改进，或者提出全新的解 ...

\(给出通项公式(当然，1,2,\sqrt{3},2\sqrt{3}\ 是可以改的，z\ 也许可以去掉)\)

NMinimize[\(\sqrt{x^2 + (\frac{x*z}{x + y})^2\ \ } + \sqrt{ y^2 + (\frac{y *z}{x + y})^2\ \ }+ \sqrt{z^2 + (x - y)^2\ \ },\) \(2\sqrt{3}=\sqrt{1^2 - (2 - x)^2\ \ } + z + \sqrt{(\sqrt{3})^2 - (2 - y)^2\ \ }\),{x, y, z}]
{3.97899, {x -> 1.3854, y -> 1.1857, z -> 1.14656}}

王守恩

elim 发表于 2021-4-30 07:53
至此，有关主贴问题的理论分析和处理原则上已经完成。有兴趣的朋友可以作一个概括和改进，或者提出全新的解 ...

\(给出通项公式(当然，1,2,\sqrt{3},2\sqrt{3}\ 是可以改的，z\ 也可以去掉)\)

NMinimize[\(\sqrt{x^2 + (\frac{x*z}{x + y})^2\ \ } + \sqrt{ y^2 + (\frac{y *z}{x + y})^2\ \ }+ \sqrt{z^2 + (x - y)^2\ \ },\) \(2\sqrt{3}=\sqrt{1^2 - (2 - x)^2\ \ } + z + \sqrt{(\sqrt{3})^2 - (2 - y)^2\ \ }\),{x, y, z}]
{3.97899, {x -> 1.3854, y -> 1.1857, z -> 1.14656}}

化简。
NMinimize[\(\sqrt{(x+y)^2 +z^2\ \ } + \sqrt{ (x-y)^2 +z^2\ \ },\) \(2\sqrt{3}=\sqrt{1^2 - (2 - x)^2\ \ } + z + \sqrt{(\sqrt{3})^2 - (2 - y)^2\ \ }\),{x, y, z}]
{3.97899, {x -> 1.3854, y -> 1.1857, z -> 1.14656}}

再化简。
{3.97899, {x -> 1.3854, y -> 1.1857}}

王守恩

elim 发表于 2021-4-30 07:53
至此，有关主贴问题的理论分析和处理原则上已经完成。有兴趣的朋友可以作一个概括和改进，或者提出全新的解 ...

主贴：已知矩形及2个半径(邻边)，求3个活动点的最小值 。
可以发散：已知4边形及2个半径(不一定在邻边)，解法是相通的。

elim

Minimize 不是解法，是数值逼近法。主贴的问题可以归结为方程求根。虽然是高次方程，但解是唯一的，不是凑出来的。