99009901除以99990001得什么

yangchuanju

99009901除以99990001得什么

太阳先生在其博贴《求证：(10^t+1-10^u)/(10^v+1-10^y)必定是素数》中又抛出一道求素数公式题：
“已知:奇数a>0，c>0，k>0，m>0，n>0，t>0，u>0，v>0，y>0，a=k^2，k/3=m，k/5=n
t=2u，u=2v+y，v=2y，t=5v，[(10^a+1)/(10^k+1)]/[(10^t+1-10^u)/(10^v+1-10^y)]=c
求证：(10^t+1-10^u)/(10^v+1-10^y)必定是素数”

他故弄玄虚，把题目变得令人眼花缭乱，其实对他的题目化简一下就是：
[(10^5k+1)/(10^k+1)] / [(100^5y-10^5y+1)/(100^y-10^y+1)] = 整数
中的除数“(100^5y-10^5y+1)/(100^y-10^y+1)”必定是素数吗？

近几天，在与太阳先生的交流贴中已经发布算出了两个系列中的数字，(10^5k+1) / (10^k+1)为99009901型正整数，(100^5y-10^5y+1) / (100^y-10^y+1)为99990001型正整数，式中变量k和y都是正整数。

已经得到的(10^5k+1)/(10^k+1)分解式有：（表1）
(10^5+1)/(10^1+1) =  9091
(10^10+1)/(10^2+1) =  3541 × 27961  =  99009901
(10^15+1)/(10^3+1) =  211 × 241 × 2161 × 9091  =  999000999001
(10^20+1)/(10^4+1) =  1676321 × 5964848081<10>  =  9999000099990001
(10^25+1)/(10^5+1) =  251 × 5051 × 78875943472201<14>  =  99999000009999900001
(10^30+1)/(10^6+1) =  61 ×3541 × 27961 × 4188901 × 39526741  =  999999000000999999000001
(10^35+1)/(10^7+1) =  9091 × 4147571 × 265212793249617641<18>  =  9999999000000099999990000001
(10^40+1)/(10^8+1) =  5070721 × 19721061166646717498359681<26>  =  99999999000000009999999900000001
(10^45+1)/(10^9+1) =  211 × 241 × 2161 × 9091 × 29611 × 3762091 × 8985695684401<13>
(10^50+1)/(10^10+1) =  60101 × 7019801 × 14103673319201<14> × 1680588011350901<16>
(10^55+1)/(10^11+1) =  331 × 5171 × 9091 × 20163494891<11> × 318727841165674579776721<24>
(10^60+1)/(10^12+1) =  1676321 × 5964848081<10> × 100009999999899989999000000010001<33>
(10^65+1)/(10^13+1) =  131 × 9091 × 8396862596258693901610602298557167100076327481<46>
(10^70+1)/(10^14+1) =  421 × 3541 × 27961 × 3471301 × 13489841 × 60368344121<11> × 848654483879497562821<21>&#8195;
(10^75+1)/(10^15+1) =  251 × 5051 × 78875943472201<14> × 10000099999999989999899999000000000100001<41>
(10^80+1)/(10^16+1) =  1634881 × 18453761 × 947147262401<12> × 349954396040122577928041596214187605761<39>
(10^85+1)/(10^17+1) =  9091 × 87211 × 787223761 × 160220794821014452066741918303580917664386555934641<51>
(10^90+1)/(10^18+1) =  61 × 181 × 3541 × 27961 × 4188901 × 39526741 × 4999437541453012143121<22> × 1105097795002994798105101<25>
(10^95+1)/(10^19+1) =  9091 × 1812604116731<13> × 121450506296081<15> × 4996731930447843676185843959746621491531100801<46>
(10^100+1)/(10^20+1) =  401 × 1201 × 1601 × 129694419029057750551385771184564274499075700947656757821537291527196801<72>
它们的素因子全是尾数为1的素数，但不包括全部尾数为1的素数。

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(100^y-10^y+1)型数字及分解式（y=1—24）：（表2）
9901位数        分解式
2        91=P1 * P2
2        P1 = 7
2        P2 = 13
4        9901 is prime
6        999001=P2 * P5
6        P2 = 19
6        P5 = 52579
8        99990001 is prime
10        9999900001=P1 * P2 * P3 * P3 * P4
10        P1 = 7
10        P2 = 13
10        P3 = 211
10        P3 = 241
10        P4 = 2161
12        999999000001 is prime
14        99999990000001=P1 * P1 * P2 * P3 * P4 * P6
14        P1 = 7
14        P1 = 7
14        P2 = 13
14        P3 = 127
14        P4 = 2689
14        P6 = 459691
16        9999999900000001 is prime
18        999...001<18>=P8 * P11
18        P8 = 70541929
18        P11 = 14175966169
20        999...001<20>=P2 * P4 * P7 * P8
20        P2 = 61
20        P4 = 9901
20        P7 = 4188901
20        P8 = 39526741
22        999...001<22>=P1 * P2 * P9 * P12
22        P1 = 7
22        P2 = 13
22        P9 = 599144041
22        P12 = 183411838171
24        999...001<24>=P4 * P5 * P16
24        P4 = 3169
24        P5 = 98641
24        P16 = 3199044596370769

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(100^5y-10^5y+1)型数字及分解式（y=1—24）：（表3）
9901位数        分解式
10        9999900001=P1 * P2 * P3 * P3 * P4
10        P1 = 7
10        P2 = 13
10        P3 = 211
10        P3 = 241
10        P4 = 2161
20        999...001<20>=P2 * P4 * P7 * P8
20        P2 = 61
20        P4 = 9901
20        P7 = 4188901
20        P8 = 39526741
30        999...001<30>=P2 * P5 * P5 * P7 * P13
30        P2 = 19
30        P5 = 29611
30        P5 = 52579
30        P7 = 3762091
30        P13 = 8985695684401
40        999...001<40>=P8 * P33
40        P8 = 99990001
40        P33 = 100009999999899989999000000010001
50        999...001<50>=P1 * P2 * P3 * P3 * P4 * P41
50        P1 = 7
50        P2 = 13
50        P3 = 211
50        P3 = 241
50        P4 = 2161
50        P41 = 10000099999999989999899999000000000100001
60        999...001<60>=P3 * P12 * P22 * P25
60        P3 = 181
60        P12 = 999999000001
60        P22 = 4999437541453012143121<22>
60        P25 = 1105097795002994798105101<25>
70        999...001<70>=P1 * P1 * P2 * P3 * P3 * P3 * P4 * P4 * P6 * P11 * P16 * P23
70        P1 = 7
70        P1 = 7
70        P2 = 13
70        P3 = 127
70        P3 = 211
70        P3 = 241
70        P4 = 2161
70        P4 = 2689
70        P6 = 459691
70        P11 = 29970369241
70        P16 = 1661378260814161<16>
70        P23 = 18276168846821336356291<23>
80        999...001<80>=P10 * P16 * P27 * P29
80        P10 = 1132716961
80        P16 = 9999999900000001<16>
80        P27 = 281259985248437790051014401<27>
80        P29 = 31388506438433752927908678241<29>
90        999...001<90>=P4 * P8 * P11 * P12 * P14 * P43
90        P4 = 6481
90        P8 = 70541929
90        P11 = 14175966169
90        P12 = 577603663291<12>
90        P14 = 31023833790241<14>
90        P43 = 8610583349234340055547908764091017276717091<43>
100        999...001<100>=P2 * P3 * P4 * P6 * P7 * P7 * P8 * P12 * P20 * P35
100        P2 = 61
100        P3 = 601
100        P4 = 9901
100        P6 = 261301
100        P7 = 3903901
100        P7 = 4188901
100        P8 = 39526741
100        P12 = 168290119201
100        P20 = 25074091038628125301
100        P35 = 38654658795718156456729958859629701
110        999...001<110>=P1 * P2 * P3 * P3 * P4 * P9 * P10 * P12 * P26 * P46
110        P1 = 7
110        P2 = 13
110        P3 = 211
110        P3 = 241
110        P4 = 2161
110        P9 = 599144041
110        P10 = 4124507971
110        P12 = 183411838171
110        P26 = 19835636682880495867311241<26>
110        P46 = 1112314101311286003379752617807870409611285281<46>
120        999...001<120>=P4 * P5 * P9 * P16 * P35 * P53
120        P4 = 3169
120        P5 = 98641
120        P9 = 265183201
120        P16 = 3199044596370769
120        P35 = 95853807664312827399794371014650641<35>
120        P53 = 39340929985040037939860550511566010202173435808159761<53>

yangchuanju

用表3中的各数除以表2中的对应数字即得(100^5y-10^5y+1) / (100^y-10^y+1)：（表4）
9901位数        分解式
10        9999900001/91=P3 * P3 * P4
10        P3 = 211
10        P3 = 241
10        P4 = 2161
20        999...001<20>/9901=P2* P7 * P8
20        P2 = 61
20        P7 = 4188901
20        P8 = 39526741
30        999...001<30>/999001=P5 * P7 * P13
30        P5 = 29611
30        P7 = 3762091
30        P13 = 8985695684401
40        999...001<40>/99990001=P33
40        P33 = 100009999999899989999000000010001
50        999...001<50>/9999900001=P41
50        P41 = 10000099999999989999899999000000000100001
60        999...001<60>/999999000001=P3* P22* P25
60        P3 = 181
60        P22 = 4999437541453012143121<22>
60        P25 = 1105097795002994798105101<25>
70        999...001<70>/999...001<14>=P3 * P3 * P4 * P11 * P16 * P23
70        P3 = 211
70        P3 = 241
70        P4 = 2161
70        P11 = 29970369241
70        P16 = 1661378260814161<16>
70        P23 = 18276168846821336356291<23>
80        999...001<80>/999...001<16>=P10 * P27 * P29
80        P10 = 1132716961
80        P27 = 281259985248437790051014401<27>
80        P29 = 31388506438433752927908678241<29>
90        999...001<90>/999...001<18>=P4 * P12 * P14 * P43
90        P4 = 6481
90        P12 = 577603663291<12>
90        P14 = 31023833790241<14>
90        P43 = 8610583349234340055547908764091017276717091<43>
100        999...001<100>/999...001<20>=P3 * P6 * P7 * P12 * P20 * P35
100        P3 = 601
100        P6 = 261301
100        P7 = 3903901
100        P12 = 168290119201
100        P20 = 25074091038628125301
100        P35 = 38654658795718156456729958859629701
110        999...001<110>/999...001<22>=P3 * P3 * P4 * P10 * P26 * P46
110        P3 = 211
110        P3 = 241
110        P4 = 2161
110        P26 = 19835636682880495867311241<26>
110        P46 = 1112314101311286003379752617807870409611285281<46>
120        999...001<120>/999...001<24>=P9 * P35 * P53
120        P9 = 265183201
120        P35 = 95853807664312827399794371014650641<35>
120        P53 = 39340929985040037939860550511566010202173435808159761<53>

表4中的第1个数字含3个素因子211,241,2161；表1中的第3个数字含4个素因子211,241,2161和9091；可整除，商是9091；
表4中的第1个数字亦可整除表1中的第9个数字(10^45+1)/(10^9+1) = 211 × 241 × 2161 × 9091 × 29611 × 3762091 × 8985695684401<13>；
表4中的第2个数字含4个素因子61,4188901,39526741；表1中的第6个数字为(10^30+1)/(10^6+1) =61 ×3541 × 27961 × 4188901 × 39526741，可整除嗷；
它还可整除表1的第18个数字(10^90+1)/(10^18+1) =61 × 181 × 3541 × 27961 × 4188901 × 39526741 × 4999437541453012143121<22> × 1105097795002994798105101<25>；……
这里除数都不是素数，怎么说 (100^5y-10^5y+1)/(100^y-10^y+1)“必定是素数”哪？

yangchuanju

或许太阳先生要说，杨先生审题不细，我的分子是(10^k^2+1)/(10^k+1)，分子错了，所以能用合数因子整除了！
现改一下，重新计算一下分母，令大分子的分子指数为1,4,9,16……，分母指数为1,2,3,4……，
经分别计算和约分可得：

(10^k^2+1)/(10^k+1)计算表：（表5）
10^1+1=11=11
10^1+1=11=11
相除等于1。
10^4+1=10001=73×13
10^2+1=101=101
不能相除。
10^9+1=1000000001<10>=7×11×13×19×52579
10^3+1=1001=7×11×13
相除等于19*52579
10^16+1=10000000000000001<17>=353×449×641×1409×69857
10^4+1=10001=73×137
不能相除。

以下只取指数是奇数的：
10^25+1=11×251×5051×9091×78875943472201<14>
10^5+1=11×9091
相除等于251×5051×78875943472201<14>

10^49+1=11×197×909091×5076141624365532994918781726395939035533<40>
10^7+1=11×909091
相除等于197*5076141624365532994918781726395939035533<40>

10^81+1=7×11×13×19×1459×52579×70541929×2458921051<10>×14175966169<11>×456502382570032651<18>×610600386089858349939139<24>
10^9+1=7×11×13×19×52579
相除等于1459*70541929×2458921051<10>×14175966169<11>×456502382570032651<18>×610600386089858349939139<24>

10^11+1=11^2×23×4093×8779
10^121+1=11^3×23×4093×4357×8779×25169×1485397×102502981431359171598893<24>×5444710013725792963322916526756467746442-08265246405598834086237345292487<72>
相除等于11×4357×25169×1485397×102502981431359171598893<24>×5444710013725792963322916526756467746442-08265246405598834086237345292487<72>

10^13+1=11×859×1058313049<10>
10^169+1=11×677×859×987001237×1058313049<10>×1592730232155679902273246343099578009020-762979379345291<55>×9396181793001671106914228395252953637292-3039994594561690888076477964771217059054-7747265739<90>
相除等于677×987001237×1592730232155679902273246343099578009020-762979379345291<55>×9396181793001671106914228395252953637292-3039994594561690888076477964771217059054-7747265739<90>

10^15+1=7×11×13×211×241×2161×9091
10^225+1=7×11×13×19×211×241×251×2161×5051×9091×29611×52579×270001×3762091×8985695684401<13>×78875943472201<14>×1000009999999998999989999900000000010000-1<41>×3703689986333387654119799556297939637260-6027348046859085707052936840974663019766-59345706127014344391317072899730001<115>
相除等于19×251×5051×29611×52579×270001×3762091×8985695684401<13>×78875943472201<14>×1000009999999998999989999900000000010000-1<41>×3703689986333387654119799556297939637260-6027348046859085707052936840974663019766-59345706127014344391317072899730001<115>

10^17+1=11×103×4013×21993833369<11>
10^289+1=11×103×4013×511438099×21993833369<11>×587063793048979091<18>×42323992639419349049079264521<29>×1136558791710654899629429576107642694020-211020408036719308522808314581197380973<79>×6923777301528230940787780295400313221683-7931499487471683017546895556923961389690-1051476486900230773676279104245977387969-9664648964996271733<139>
相除等于511438099×587063793048979091<18>×42323992639419349049079264521<29>×1136558791710654899629429576107642694020-211020408036719308522808314581197380973<79>×6923777301528230940787780295400313221683-7931499487471683017546895556923961389690-1051476486900230773676279104245977387969-9664648964996271733<139>

10^19+1=11×909090909090909091<18>
10^361+1=11×43321×909090909090909091<18>×5140192330491733331414521378576126342075-768810496980939<55>×3223374037812410694155224757327965568352-798312019085047331<58>×1393193546...<226>
相除等于43321×5140192330491733331414521378576126342075-768810496980939<55>×3223374037812410694155224757327965568352-798312019085047331<58>×1393193546...<226>

10^21+1=7^2×11×13×127×2689×459691×909091
10^441+1=7^3×11×13×19×127×197×2647×2689×52579×459691×909091×5274739×6007303×189772422673235585874485732659<30>×5076141624365532994918781726395939035533<40>×5213600916753429504543143915097894587811-57156524647<51>×1428571571428571428569999999857142857142-8585714285714285571428557142857142857285-7143<84>×1206226142359151995765814974690188684077-0760501774728809041482325280912099002046-8006404654192783823649565330780189120560-3731363358813212170994860337470438735804-18793246097727626773386959905463<192>
相除等于7×19×197×2647×52579×5274739×6007303×189772422673235585874485732659<30>×5076141624365532994918781726395939035533<40>×5213600916753429504543143915097894587811-57156524647<51>×1428571571428571428569999999857142857142-8585714285714285571428557142857142857285-7143<84>×1206226142359151995765814974690188684077-0760501774728809041482325280912099002046-8006404654192783823649565330780189120560-3731363358813212170994860337470438735804-18793246097727626773386959905463<192>

10^23+1=11×47×139×2531×549797184491917<15>
10^529+1=11×47×139×2531×549797184491917<15>×49488508644018419<17>×[2020671116...<490>]
相除等于49488508644018419<17>×[2020671116...<490>]

10^25+1=11×251×5051×9091×78875943472201<14>
10^625+1=11×251×5051×9091×21001×160001×162251×10893295001<11>×50779597795001<14>×78875943472201<14>×128372635774581251<18>×2694097928717316276645861946622812338537-0101110890672605575327268108228244170925-1<81>×[9587725422...<464>]
相除等于21001×160001×162251×10893295001<11>×50779597795001<14>×128372635774581251<18>×2694097928717316276645861946622812338537-0101110890672605575327268108228244170925-1<81>×[9587725422...<464>]

再看表4，(100^5y-10^5y+1) / (100^y-10^y+1)全是含多个素数的复合因子，没有单个素数；
表4中的复合因子(100^5y-10^5y+1) / (100^y-10^y+1)中的各个素数在表5的复合因子(10^k^2+1) / (10^k+1)中没有或不全有，
不能整除！
(100^5y-10^5y+1) / (100^y-10^y+1)根本就不是单个素数，言何谈得上它们“必定是素数”哪？

通过计算和分析可知，[(10^5k+1)/(10^k+1)]与[(100^5y-10^5y+1)/(100^y-10^y+1)]多可整除，
[(10^k^2+1)/(10^k+1)]与[(100^5y-10^5y+1)/(100^y-10^y+1)]不能整除，
(100^5y-10^5y+1)/(100^y-10^y+1)“必定是素数”无从谈起！

太阳

“已知:奇数a>0，c>0，k>0，m>0，n>0，t>0，u>0，v>0，y>0，a=k^2，k/3=m，k/5=n
t=2u，u=2v+y，v=2y，t=5v，[(10^a+1)/(10^k+1)]/[(10^t+1-10^u)/(10^v+1-10^y)]=c
求证：(10^t+1-10^u)/(10^v+1-10^y)必定是素数”
他故弄玄虚，把题目变得令人眼花缭乱，其实对他的题目化简一下就是：
[(10^5k+1)/(10^k+1)] / [(100^5y-10^5y+1)/(100^y-10^y+1)] = 整数
化简已经错了，没有看清题目条件，条件(a=k^2，k/3=m，k/5=n)，注意a=k^2

yangchuanju

言归正传，算一下本贴的题目究竟等于多少？
99009901除以99990001得什么

素数9091的倒数：
1/9091=0.0001099989…循环节10位
9901/9091=1.0890991090…循环节10位
素数9901的倒数：
1/9901=0.000100999899…循环节12位
9091/9901=0.918190081809…循环节12位

素数99009901的倒数：
1/99009901=0.00000001009999999899…循环节20位
99009901/99009901=1.00989900999901009900…循环节20位
素数99990001的倒数
1/99990001=0.000000010000999999989999…循环节24位
99009901/99990001=0.990198019900009801980099…循环节24位

合数999000999001的倒数：
999000999001=211*241*2161*9091
999001 = 19 × 52579
1/999000999001=0.000000000001000999999999998999…循环节30位
1/211=0.004739336492890995260663507109…循环节30位
1/241=0.004149377593360995850622406639…循环节30位
1/2161=0.000462748727440999537251272559…循环节30位
1/9091=0.0001099989…循环节10位
素数999999000001的倒数：
1/999999000001=0.000000000001000000999999999998999999…循环节36位

合数9999000099990001的倒数：
9999000099990001=1676321*5964848081
1/9999000099990001=0.0000000000000001000099999999999999989999…循环节40位
1/1676321=0.0000005965444565808099999940345554341919…循环节40位
1/5964848081=0.0000000001676488632099999999983235113679…循环节40位
素数9999999900000001的倒数：
1/9999999900000001=0.000000000000000100000000999999999999999899999999…循环节40位

合数99999000009999900001的倒数：
99999000009999900001<20> = 251*5051*78875943472201<14>
1/251=0.00398406374501992031872509960159362549800796812749…循环节50位
1/5051=0.00019798059790140566224509998020194020985943377549…循环节50位
1/78875943472201=0.00000000000001267813678009999999999999873218632199…循环节50位
合数99999999990000000001的倒数：
99999999990000000001=61*9901*4188901*39526741
1/61=0.016393442622950819672131147540983606557377049180327868852459…
1/4188901=0.000000238726100234882610021100999999761273899765117389978899…
1/39526741=0.000000025299328371139932836860999999974700671628860067163139…
1/99999999990000000001=0.000000000000000000010000000000999999999999999999989999999999…循环节60位

太阳

“已知:奇数a>0，c>0，k>0，m>0，n>0，t>0，u>0，v>0，y>0，a=k^2，k/3=m，k/5=n
t=2u，u=2v+y，v=2y，t=5v，[(10^a+1)/(10^k+1)]/[(10^t+1-10^u)/(10^v+1-10^y)]=c
求证：(10^t+1-10^u)/(10^v+1-10^y)必定是素数”
k取值为15，45，75，105，...
yangchuanju网友认为命题错误，请给出一个例，t=?，y=？

太阳

例1：(10^225+1)/(10^15+1)/[(10^50+1-10^25)/(10^10+1-10^5)]=c，(10^50+1-10^25)/(10^10+1-10^5)必定是素数
例2：(10^5625+1)/(10^75+1)/[(10^1250+1-10^625)/(10^250+1-10^125)]=c，(10^1250+1-10^625)/(10^250+1-10^125)必定是素数